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Hallo Community,

diese Aufgabe wurde  2016 schon mal erklärt ...allerdings verstehe ich die Auflösung nicht so ganz.

Hier die Aufgabe:

Die Flächenformel des Eiprofils (siehe Bild) soll ermittelt werden.

Zur Überprüfung, ob die Formel stimmt, sieht man unter der Zeichnung, dass bei r=1 die Fläche 4,594 groß sein sollte.


Nun bei dem oberen Teil der Fläche handelt es sich wohl um einen  Halbkreis;

bei dem unteren Teil dürfte es sich um 1/4 Kreisfläche handeln - also

r/2 ² * 3,14*1/4

Die Berechnung des Mittelteils erschließt sich mir allerdings nicht so ganz!!

2·pi·(3·r)2 · ATAN(3/4)/(2·pi) ist wohl der Formelteil für den Kreisausschnitt mit dem Radius 3r und dem Winkel Atan 3/4.

Aber was berechnet man mit dieser Formel :

A3 = pi·(r/2)2·(pi - 2·ATAN(3/4))/(2·pi)


Zur Überprüfung, ob die Formel stimmt, sieht man unter der Zeichnung, dass bei r=1 die Fläche 4,594 groß sein sollte.


blob.png

Die Lösung: A1 = 1/2 * pi * r2

                    TAN(α) = (3/2)/2 --> α = ATAN(3/4)

                    A2 = 2·pi·(3·r)2 · ATAN(3/4)/(2·pi) - 2·r·3/2·r

                    A3 = pi·(r/2)2·(pi - 2·ATAN(3/4))/(2·pi)

                   A = 1/2 * pi * r2 + 2·pi·(3·r)2 · ATAN(3/4)/(2·pi) - 2·r·3/2·r +                                           pi·(r/2)2·(pi - 2·ATAN(3/4))/(2·pi)

Vereinfachen und Zusammenfassen ergibt:

A = 4.594130110·r2


Vielleicht kann mir jemand mit Geduld diese Lösung auf Dummie Niveau erklären.

und ein Frohes Osterfest

Klahu65

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Gib einmal den Link von 2016 an.

Der untere Teil mutet wie eine Ellipse an.

1 Antwort

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Hallo Klahu,

A1 = Halbkreis

$$ = \frac{1}{2}πr^2 $$

Die Fläche des mittleren Stücks ist der Kreissektor DMG (grün) mit dem Radius 3r abzüglich des Dreiecks ECM.

Zur Berechnung des Sektors wird der Winkel Alpha benötigt.

$$ α=atan \frac{1,5r}{2r}=atan \frac{3}{4} $$

Flächeninhalt eines Kreissektors:

$$ A=π \cdot r^2 \cdot \frac{α}{360} $$

Hier also

$$ A=π \cdot (3r)^2 \cdot \frac{atan \frac{3}{4}}{360} $$

Davon muss der Flächeninhalt des Dreiecks BCM abgezogen werden:

Flächeninhalt Dreieck

$$ A=\frac{2r \cdot 1,5r}{2}=\frac{3}{2}r^2 $$

Jetzt alles noch mit 2 multipliziert, da wir diese Teilfläche zweimal haben:

$$ A_2=2 \cdot(π \cdot (3r)^2 \cdot \frac{atan \frac{3}{4}}{360}-\frac{3}{2}r^2) $$

Das letzte Teilstück lässt sich als ein Kreissektor mit dem Winkel Beta = 2 * (180 - 90 - atan 3/4) = 106,23° und dem Radius 0,5r berechnen:

$$A_3=π \cdot (0,5r)^2 \cdot \frac{106,26}{360} $$

So, ich hoffe, ich habe mich jetzt nirgends vertippt und du verstehst meine Ausführungen.

Eiquerschnitt.JPG

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Vielen, vielen Dank die Nebelwand hat sich aufgelöst.. :-)

Ich wünsch Dir und allen Teilnehmern hier ein frohes Osterfest.

LG

Klahu65

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