Ungleichungen. Wie funktioniert diese Umformung? von 1/2·x ≤ 1/3·x zu 2·x ≥ 3·x | iff x ≠ 0

Question

ich wiederhole gerade paar Sachen zu dem Thema Ungleichungen in einer Unbekannten und habe paar Probleme mit dem Verständnis der Definitionen für die aufgelösten Ungleichungen. Hier ein Beispiel. um zu veranschaulichen was ich meine: Gegeben ist folgenden Ungleichung in welcher die Unbestimmte im Nenner auftritt:

    1/2·x ≤ 1/3·x     |(Kehrwert genommen unter der Vorbedingung das keiner der beteiligten Nenner den Wert Null annimmt                                   und das beide Brüche das gleiche Vorzeichen haben)

 ⇔ 2·x ≥ 3·x         | iff x ≠ 0 # Bis zu diesem Punkt hatte ich alles richtig

Nun heißt es aber das die neue Ungleichung die Lösungsmenge ]-∞;0] hat, aber da man ja die Bedingung x = 0 ausgeschlossen hat soll L = ]-∞;0[ die Lösungsmenge von 1/2·x ≤ 1/3·x sein. Nun frage ich mich wie die Lösungsmenge ]-∞;0] sein kann, wenn die neue Ungleichung doch 2·x ≥ 3·x lautet? (Definition für x ≥ a lautet ja L=[a;∞[). Und wieso bezieht sich die Lösungsmenge auf die ursprüngliche Ungleichung? Ich hoffe das mein Problem ersichtlich ist und würde mich über eine Antwort bzw. Hilfestellung/Tipps freuen. MfG

Answer 1

1/2·x ≤ 1/3·x 
1/2·x - 1/3·x   ≤ 0
( 1/2 - 1/3 ) * x  ≤ 0
( 1/2 - 1/ 3 ) ist positiv also
( 1/2 - 1/3 ) * x  ≤ 0
( positiv * negativ < 0 )
x < 0
oder
Satz vom Nullprodukt
x = 0

] -∞; 0 ]

Comments

Danke ein schöner Rechenweg und verständlich erklärt.

---

Gern geschehen.
Falls du weitere Fragen hast dann stelle
sie wieder ein.

Answer 2

ich versuche in solchen Fällen Fallunterscheidungen erstmal zu vermeiden. Bringe erstmal  alles auf eine Seite:

(1/2-1/3)*1/x<=0 |: (1/2-1/3)>0

1/x<=0

x<0

L=(-∞,0)

Für x=0 ist die Ungleichung nicht definiert.

Comments

Danke ich werde zukünftig diesen Rechenweg stattdessen benützen.