Normalen und Parametergleichung aufstellen mithilfe der Koordinatengleichung

Question

E:x= 3x- 4y+6z=36

Stellen Sie die Ebene E durch eine Parametergleichung dar.

Ich hab den normalenvektor (3/4/6)×(x/y/z)=36 gelöst und so die Punkte (0/0/6) und (12/0/0) herausbekommen aber diese Punkte sollten doch eigentlich auch den normalenvektor bilden oder?

Answer 1

Du brauchst 3 Punkte, um eine Ebene festzulegen. Als dritten Punkt schlage ich C(0|9|0) vor. A(0/0/6) und B(12/0/0) hattest du ja schon, Die Parameterform wird dann so berechnet X=A+λ(B-A)+μ(C-A).

Answer 2

einen Punkt der Ebene erhältst du, wenn du z.B. x = y = 0 in der Koordinatengleichung vorgibst und z = 36/6 = 6 passend dazu ausrechnest →  P(0|0|6)

Als  Richtungsvektoren erhältst du zwei linear unabhängige Vektoren, die auf dem Normalenvektor \(\vec{n}\) senkrecht stehen, wenn du bei  \(\vec{n}\) jeweils eine andere Koordinate 0 setzt und die beiden anderen vertauschst und ein Vorzeichen änderst:

\(\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 6 \end{pmatrix}\)  ⊥   \(\begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}\)  , \(\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}\)       (Skalarrodukt mit \(\vec{n}\) ist jeweils = 0)

Natürlich kannst du die RV noch "kürzen".

Dann hast du ja sofort die Prameterform.

Gruß Wolfgang