Ganzzahlige Seiten und Diagonalen. Raute bei der nur der Flächeninhalt gegeben ist?

Question

ich sitze gerade an einen Hausaufgaben und nun habe ich ein Problem.

Ich soll die Diagonalen und die Seitenlänge bestimmen dessen Flächeninhalt gegeben ist.

Dazu ist angegeben das die Seitenlangen und die Diagonalen ganzzahlig sind.

Ich verstehe nicht wie man auf die Angaben rechnen kann.

Comments

Wie groß ist den der Flächeninhalt?

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oh entschuldige, der Flächeninhalt beträgt 120 cm^2

Answer 1

hier habe ich Dir eine Raute gezeichnet,

ihr Flächeninhalt ist \(F = \frac12 e \cdot f\). Wenn \(e\), \(f\) und \(s\) (die Seite) ganze Zahlen (ganze \(\text{cm}\)) sein sollen, so müssen die Seiten des markierte rechtwinkligen Dreiecks ein sogenanntes pythagoräisches Tripel bilden. Es ist $$\frac{e^2}{4} + \frac{f^2}{4} = s^2$$ $$\frac{e}{2} \cdot \frac{f}{2} = \frac12 F= 60$$

Die Liste der Tripel ist (3,4,5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), usw. Von diesen gilt nur für das zweite Tripel \(5 \cdot 12 = 60\). Also ist \(e/2=5\) und \(f/2=12\) (oder umgekehrt) bzw. $$e=10 \quad f = 24 \quad s = 13$$ Gruß Werner

Comments

Hallo Werner,

Du könntest mich jeweils anrufen, wenn du deine Antworten abschickst, dann kann ich mir die Arbeit ersparen (und kommentieren, wenn ich wirklich mal etwas zu meckern haben sollte) :-)

Gruß Wolfgang

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Hallo Wolfgang,

ich nehm' das mal als Kompliment! ansonsten habe ich zu dem Thema mal 'ne Anfrage gestartet. Ich harre Deiner Meinung dazu.

Gruß Werner

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ich nehm' das mal als Kompliment!

War auch so gemeint :-)

Mit Bezug auf deine Anfrage:

Ich würde durchaus nicht bei jedem die Beantwortung einstellen :-)

Answer 2

Hallo Ivy,

e und f in cm

A = 1/2 * e * f  = 120  →  e * f = 240  →  e = f/240

In einer Raute halbieren sich die Diagonalen und sie zerlegen die Raute in vier kongruente rechtwinklige Dreiecke, deren Hypotenuse die ganzzahlige Seitenlänge ist.

→  √( (e/2)² + (f/2)² )   = Seitenlänge muss ganzzahlig sein.

→  1/2 * √( e² + f² )  =   Seitenlänge muss ganzzahlig sein. 

→  √( e² + f² )  muss  ganzzahlig  (und gerade) sein   (#) 

Wegen √240 ≈ 15,5  musst du jetzt nur die Teiler von 240 probieren, die kleiner als 16 sind.

240 = 2⁴ * 3 * 5

Aus diesen Primfaktoren müssen sich diese Teiler also zusammensetzen:

2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15

Nur bei e = 10 und f = 24 (oder umgekehrt) wirst du hier (#)  fündig:

√( 10² + 24² ) = √676  = 26

Also  e = 10  und  f = 24  oder umgekehrt.

Gruß Wolfgang

Answer 3

Hallo

 Fläche D*d , wobei D und D die Diagonalen sind. du hast einerseits das also D und d müssen die 2 Teiler von F sein. da gibs sicher mehrere. aber s^2=(d/2)^2+(D/2)^2 mit s ganz gibt es dann sicher nur eine Möglichkeit.

Gruß lul

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Könntest du mir ein Beispiel liefern, leider kann ich es so nicht ganz nachvollziehen.

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F=48

leicht zu sehen 6*8=48 d=6,D=8  und s²= 3² +4²=25;  s=5

 48=4*12 aber s²=2²+6²=40  s nicht ganz

Gruß lul

Answer 4

Hallo Ivy,

seien die Diagonalen e und f, dann berechnet sich der Flächeninhalt ener Raute mit der Formel

$$ A = \frac{e \cdot f}{2} $$

Hier

$$ 120 = \frac{e \cdot f}{2}\\240 =e \cdot f  $$

Jetzt brauchst du nur noch zwei Zahlen zu suchen, deren Produkt 240 ergibt, zum Beispiel 8 und 30.

Gruß, Silvia

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Bei e=8 und f=30  wäre

Seitenlänge =√( 4² + 15² ) ≈ 15,5  nicht ganzzahlig