Exponentialfunktion zur Basis z: z(x) = a*e^{-bx²}+c

Question

Exponentialfunktion zur Basis z der folgenden Form:

z(x) = a*e^{-bx^2}+c

Bekann ist, dass der Graph achsensymmetrisch zur Ordinate ist.

Der Graph soll knick- und ruckfrei verlaufen zu den Graphen:

g(x) = -2x+4
f(x) = 2x+4

Es soll aus diesen Bedingungen die oben genannte e-Funktion bestimmt werden.

 

Answer 1

z(x) = a·e^{- b·x^2} + c
z'(x) = - 2·a·b·x·e^{- b·x^2}
z''(x) = 2·a·b·e^{- b·x^2}·(2·b·x^2 - 1)

Bedingungen

f(2) = 0
a·e^{- 4·b} + c = 0

f'(2) = -2
- 4·a·b·e^{- 4·b} = -2

f''(2) = 0
a·b·e^{- 4·b}·(16·b - 2) = 0

Aus der letzten Gleichung ergibt sich 

16·b - 2 = 0
b = 1/8

Damit lautet die zweite Gleichung

- a/(2·√e) = -2
a = 4·√e

Damit lautet die erste Gleichung

4·√e/√e + c = 0
c = -4

Damit lautet die Funktion

z(x) = (4·√e)·e^{- 1/8·x^2} - 4

Skizze:

Comments

Das Ergebnis meiner zweiten Ableitung ist (4ab^2*x^2-2ab)*e^-(bx^2), wo liegt der Fehler bei mir?

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Da ist kein Fehler. Ich habe nur überflüssige Faktoren ausgeklammert, die später beim Nullsetzen stören.

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Sorry aber eines verstehe ich noch nicht: Die zweite Ableitung lautet a·b·e- 4·b·(16·b - 2) = 0, wie vereinfachst Du diese Gleichung auf 16b-2 = 0? Und wie kommst du dann auf
"Damit lautet die zweite Gleichung

- a/(2·√e) = -2
a = 4·√e"

Bitte den genauen Rechenweg (ist alles nicht so einfach für mich...)

Und vielen dank für deine Bemühungen!

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a·b·e^{- 4·b}·(16·b - 2) = 0

Es gilt der Satz vom Nullprodukt. Ein Produkt aus mehreren Faktoren wird null wenn mind. ein Faktor Null wird.

Die Faktoren a, b und auch e^x werden nie Null. Damit muss die Klammer Null werden damit das Produkt Null wird.

Als nächstes setzen wir b = 1/8 in die zweite Gleichung ein.

- 4·a·b·e^{- 4·b} = -2

- 4·a·1/8·e^{- 4·1/8} = -2

- 0.5·a·e^{- 0.5} = -2

a·e^{- 0.5} = 4

a = 4·e^0.5

a = 4·√e

Eigentlich solltest du aber in der Lage sein sowas auch ohne Hilfestellung zu vereinfachen. Wo lag denn hier genau das Problem?

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wofür stehen a b und c ?