Mit dem Kompaktheitssatz/Endlichkeitssatz Aussagen beweisen

Question

ich bräuchte Hilfe mit dem Verstehen des Kompaktheitssatzes/Endlichkeitssatzes. Ich beziehe mich auf diese Frage, welches schon mal hier gefragt wurde aber allerdings nicht ausführlich beantwortet wurde.

Seien M={F₁, F₂, ...} und N={G₁, G₂, ...} unendliche Mengen aussagenlogischer Formeln. Zeigen oder widerlegen Sie folgende Aussagen:

a) Ist R_n={F_n, F_n+1, ...} für alle n∈{1, 2, 3...} erfüllbar, dann ist M erfüllbar.

b) Ist Sn={F1, F2, F3, ..., F2n} für alle n∈ℕ erfüllbar, dann ist M erfüllbar.

Ich verstehe einfach nicht, wie ich den Kompaktheitssatz ausnutzen kann, um diese Aussagen zu beweisen/widerlegen. Wie funktioniert der Kompaktheitssatz an diesen Beispielen genau. Könnte vielleicht jemand das genau und verständlich erklären?

Answer 1

a) R₁ ist laut Voraussetzung erfüllbar. Es ist R₁ = M. Also ist M erfüllbar.

b) Sei T ⊆ M endlich. Sei n∈S_n, so dass T ⊆ S_n ist. S_n ist laut Voraussetzung erfüllbar. Also ist auch T erfüllbar.

Weil T beliebig gewählt wurde, ist jede endliche Teilmenge von M erfüllbar. Nach dem Kompaktheitssatz  ist dann M erfüllbar.