Sei n,m element von natürlichen Zahlen N. Beweise per Induktion nach m.
Sei \( n,m \in \mathbb{N} \) . Beweise per Induktion nach \(m\):
$$\binom{n}{n} + \binom{n+1}{n} + \binom{n+2}{n} + ... + \binom{n+m}{n} = \binom{n+m+1}{n+1}$$
beachte dabei die Formel: \(k < n\) gilt $$\binom{n+1}{k+1} = \binom{n+1}{k} + \binom{n}{k}$$
Nun muss ich, dass ich am Induktions Anfang für m (weil ich ja nach m induzieren muss) für \(m\) 1 einsetzen muss, also erhalte ich:
$$\binom{n}{n} + \binom{n+1}{n} = \binom{n+1+1}{n+1}$$
Also gekürzt(da bin ich mir nicht sicher ob man das so machen kann aber,...)
$$\binom{n}{n} + \binom{n+1}{n} = \binom{n+2}{n+1}$$
nun habe ich versucht, das Ganze mal mit den Regeln auszuschreiben und erhalte dann:
$$1 + \binom{n+1}{n} = \binom{n+2}{n+1}$$
Die 1 weil, $$\binom{n}{n} = 1$$
Jetzt habe ich allerdings noch 2 weitere, wo ich nicht wirklich weiß, was zutun ist. Ich weiß nicht wie ich diese aus ihrem "Binom" rausschreiben kann. Ich hoffe, dass mir hier jemand vieeleicht weiter helfen kann.
Hier noch einige Regeln welche evetl. weiterhelfen:
\( \binom{n}{0}=1 \quad \binom{0}{0}=1 \quad \binom{n}{1}=n \quad \binom{n}{n-1}=n \quad \binom{n}{n-1}=n\)
\( \binom{n}{k}= \frac{n!}{k!(n-k)!} \quad \binom{n}{k}= \binom{n}{n-k} \quad \binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2} \quad \binom{n}{3}=\frac{n(n-1)(n-2)}{6} \)
