Ist das Dreieck PQR das Bilddreieck von Dreieck ABC?

Question

ich "brüte" jetzt schon stundenlang über folgenden Aufgaben und weiß nicht, wie ich vorgehen soll, denn bei meiner bisherigen Vorgehensweise muss etwas falsch sein.

Aufgabe:

Untersuche, ob das Dreieck PQR das Bilddreieck des Dreiecks ABC bei einer zentrischen Streckung ist. Falls ja, gib Streckzentrum und Streckfaktor an.

a)  A (-6/0)       P (5/ -3)                            b)  A (0/0)       P (2/1)                        c)   A (-2/-2)      P (-4/0)

     B (6/0)         Q (0/1)                                  B (8/0)       Q (4/5)                              B (6/0)         Q (10/4)

     C (-2/8)        R (-2/-3)                                C (4/8)       R (6/1)                              C (0/0)         R (0/4)

Ich habe alle drei Aufgaben mehrfach gemacht und PQR ist in keinem Fall das Bilddreieck von ABC.

Wo liegt mein Fehler?

Vielen Dank

Kristin

Answer 1

Dein Fehler liegt bei b)

Damit PQR das Bilddreieck von ABC ist, muss B nicht auf Q abgebildet werden. Es geht nicht um die Bilder einzelner Punkte, sondern um das Bild der gesamten Figur.

Comments

Reingefallen.

---

Hallo Oswald,

kannst Du das genauer erklären? Ich weiß leider nicht  so recht, was Du meinst.

Gruß

Kristin

---

Zeichne doch einfach mal die zwei Dreiecke. Und dann begründe mal, warum PQR nicht durch eine zentrische Streckung von ABC entstanden sein kann. Dann kann ich dir erklären, wo der Fehler in deiner Begründung ist.

---

Also, die beiden Dreiecke habe ich nun noch einmal gezeichnet und habe durch /AP/

eine Gerade gezogen, durch /BQ/ und durch /CR/. Damit PQR durch zentrische Streckung von ABC entsteht, müsste die durch /CR/ gezogene Gerade etwas weiter nach rechts verschoben werden. Wenn ich es richtig sehe, würden sich dann aber beide Dreiecke verschieben. Ganz ähnlich wäre es bei der Geraden durch die Strecke /AP/ , die, um ein Zentrum Z zu erhalten, etwas "höher rutschen" müsste. Dann aber würden sich auch die Punkte und damit beide Dreiecke verändern.

---

eine Gerade gezogen, durch /BQ/ und durch /CR/

Zeichne stattdessen eine Gerade durch B und R und eine Gerade durch C und Q.

---

Damit PQR das Bilddreieck von ABC ist, muss B nicht auf Q abgebildet werden

Ich denke, dass das doch der Fall sein muss. Hast du eine Quelle, die deine Auffassung belegt ?

Und selbst wenn, so wäre in diesem Fall das Dreieck PQR doch kein Bild einer zentrischen Streckung des Dreiecks ABC.
Zentrische Streckungen sind nämlich orientierungstreue Abbildungen. Und die Orientierung ist durch die Reihenfolge in der Angabe der Ecken festgelegt. Und diese Orientierungen stimmen bei den Dreiecken Δ ABC und Δ PQR nicht überein.

---

Das kommt darauf an, wie weit man den Begriff 'zentrische Streckung' fast. Eine Klappstreckung mit Zentrum \(Z=(4;2)\) und Faktor \(f=0,5\) sowie Klapp(Spiegel-)Achse durch \(C\) und \(Q\) bildet \(\triangle ABC\) auf \(\triangle RPQ = \triangle PQR\) ab.

---

Hast du eine Quelle, die deine Auffassung belegt ?

Natürlich habe ich keine Quelle. Keine mir bekannte Defintion geht explizt darauf ein, welchen Einschränkungen das Bilddreieck nicht unterliegt. Wenn du glaubst, dass es bestimmten Einschänkungen unterliegt, bist eher du in der Pflicht, eine Quelle anzugeben.

Und die Orientierung ist durch die Reihenfolge in der Angabe der Ecken festgelegt.

Wenn du das so siehst, dann funktioniert das mit der zentrischen Streckung natürlich nicht mehr. Ich bin von nicht-orientierten Dreiecken ausgegangen.

---

Hallo Oswald,

stimmt, dann ergibt sich ein Zentrum.Ich bin davon ausgegangen, dass Punkt A des Dreiecks mit Punkt P des möglichen Bilddreiecks verbunden werden muss, Punkt B mit Q und C mit R und wenn sich dann kein Streckzentrum ergibt, dann ist das Dreieck PQR nicht das Bilddreieck von ABC.

Welche Regel gibt es denn hier? Kann jeder Punkt des Dreiecks mit jedem Punkt des Bilddreicks verbunden werden und erst wenn sich dann kein Streckzentrum ergibt, ist sicher, dass PQR nicht das Bilddreieck von ABC ist?

Vielen Dank

---

Kann jeder Punkt des Dreiecks mit jedem Punkt des Bilddreicks verbunden werden

Ja.

Du solltest aber noch klähren, ob die Deiecke oientiert sind oder nicht. Im orientierten Fall ist PQR kein Bilddreieck von ABC wohl aber die Dreiecke PRQ, RQP und QPR.

---

Hallo Oswald,

was sind denn "orientierte Dreiecke"?