Ich komme bei folgender Aufgabe zu keinem richtigen Ansatz, sowie, dass ich den Sachverhalt hier eines linksseitigen Grenzwertes sehr verwirrend finde.
$$ \text{Sei }\sum_{k=0}^{\infty}{a_kx^k} \text{ eine Potenzreihe mit endlichem Konvergenzradius } r>0 \text{, so dass} \sum_{k=0}^{\infty}{a_kr^k} \text{ divergiert und für jedes } k \in \mathbb{N} \text{ gilt } a_k \geq 0. \text{ Zeige, dass dann gilt:} \quad \lim\limits_{x\nearrow r}\sum_{k=0}^{\infty}{a_kx^k}=\infty. $$
Meine ersten Gedanken dazu waren:
Offensichtlich ist der Entwickulngspunkt x_0=0. Man weiß, dass eine Reihe nur dann konvergiert, wenn |x-0|=|x| < r und divergiert, wenn |x-0|=|x| > r.
Außerdem ist nach dem Wurzelkriterium diese Reihe dievergent, wenn gilt: $$ \limsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{|a_kx^k|} = \limsup\limits_{k\to\infty} |x|\sqrt[k]{|a_k|} = |x| \limsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{|a_k|} > 1 $$ Nur weiß man nicht, wie die Folge a_k genau definiert ist, d.h man kann also darüber nichts sagen, wie der Grenzwert ihrer k-ten Wurzel ihres Betrages ist.
Aber warum gilt hier sogar, dass bei einer einseitigen Grenzwertbetrachtung (hier linksseitig) diese Summe hier divergiert, wo sie es doch laut Aufgabe bei x=r tut???
