Berechnen Sie den Inhalt der weißen Fläche des "Auges"

Question

Gegeben sind die funktionen f und g

fx= -1/8x(x-8)

gx= 1/8x(x-8) sowie der Kreis mit dem Mittelpunkt M(4/0) und dem Radius 2.

Kann mir jemand erklären wie ich das berechnen soll

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FIGUR 3**********************************************

Answer 1

Gemeint ist folgendes: https://www.desmos.com/calculator/6ee5jisdda

Du musst nun erstmal so tun, als wäre dieser orangene Kreis nicht da wäre und berechnest den Flächeninhalt zwischen den beiden Parabeln. Dafür setzt du f(x) mit g(x) gleich und berechnest deren Schnittpunkte:

f(x)=g(x)

-1/8x(x-8)=1/8x(x-8)

x₁=8

x₂=0
Das sind deine Integralgrenzen:$$\int_{8}^{0}g(x)-f(x)dx$$ Nun setzen wir mal ein:$$\int_{8}^{0}\frac{1}{8}x(x-8)-\frac{-1}{8}x(x-8)dx$$$$\int_{8}^{0}\frac{1}{4}(x-8)x dx=\frac{64}{3}$$ Das wäre normalerweise die ganze Fläche des Auges, du musst das jetzt noch vom Kreis abziehen:$$\frac{64}{3}-\pi\cdot 2^2≈ 8.766963FE$$

Bitte verbessern, oder auf einen Fehler hinweisen

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warum schreibst du bei den integralgrenzen 0 und 4 ?

die sind doch 0 und 8 ?

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Danke für den Hinweis, ich habe es glaube ich ausgetüftelt jetzt. So passts!

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Ich habe vor dem Gleich gerade noch ein dx eingefügt. Sieht allerdings nicht so toll aus, wenn vor dem dx kein Abstand zu sehen ist. Kannst du das noch schöner machen?

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Nein, das kann ich leider nicht. Deswegen habe ich es auch weggelassen. Man könnte höchstens \quad machen, aber dann verrückt das "dx" komplett nach rechts.

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Wie kommst du beim dritten schritt auf xdx ?

und wie kommst du beim letzten schritt auf pi *2^2

wie soll ich die fläche des kreis berechnen

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Ok. Dann lassen wir das so. Weglassen ist keine Option. Es muss bei jedem Integral klar sein, was die Integrationsvariable ist (denk an die Substitution, wo diese im Verlauf der Rechnung umbenannt wird). x vor der Klammer wäre eventuell logischer.

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Du meinst auf:$$\int_{8}^{0}\frac{1}{4}(x-8)x dx=\frac{64}{3}$$? Das ist einfach eine vereinfachte Form von:$$\int_{8}^{0}\frac{1}{8}x(x-8)-\frac{-1}{8}x(x-8)dx$$ Du kannst also schon das vom zweiten Schritt in den TR hacken. Den Kreis berechnest du mit der Standardformel für den Flächeninhalt eines Kreises:$$A=\pi \cdot r^2$$

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wie soll ich die fläche des kreis berechnen?

Dafür gibt es bekannte Formeln, wie A = π * r^2 .

1/8 + 1/8 = 1/4

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Okay, was soll ich dann mit dem Mittelpunkt machen

brauche ich diesen ?

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Du meinst die Pupille? Für die Frage in der Überschrift brauchst du ihre Fläche nicht. Die Pupille ändert ihre Grösse je nach Helligkeit.

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Nö, der ist nur ein Indikator für die Location Im Koordinatensystem von dem Kreis.

https://www.desmos.com/calculator/poscb2tgqf

Du könntest in den Mittelpunkt z.B mit einem Zirkel einstechen und einen Kreis mit dem Radius von 2cm zeichnen!

Answer 2

Der obere Halbkreis hat die Gleichung h(x)=√(4-(x-4)²). Berechne das Integral in den Grenzen von 0 bis 4 von f(x)-h(x) und vervierfache das Ergebnis.

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Und wie bist du auf die gleichung gekommen ?  und warum vervierfachen ?

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Und wie bist du auf die gleichung gekommen ? 

Ein Kreis mit dem Mittelpunkt (a|b) und dem Radius r hat die Gleichung (x-a)²+(y-b)²=r²

und warum vervierfachen ?

Schau dir die Zeichnung von Racine an. Mein Integral ist nur 1/4 der gesuchten Fläche.

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Wie soll ich das in die Formel einsetzen (x-a)2+(y-b)2=r2

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Berechne das Integral in den Grenzen von 0 bis 4

Es fehlt der Nachweis, dass diese Integrationsgrenzen stimmen, d.h. der Nachweis, dass dieser Kreis und diese Parabel nicht eventuell (etwas vergrößert und übertrieben gezeichnet) so

aussehen.

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Hallo Gast hj2166, neuerdings gibst du dir ja richtig Mühe bei der Gestaltung deiner Antworten. Ich bin überrascht und erfreut.

Answer 3

du berechnest die Integralfläche zwischen den beiden Kurven im Intervall von 0 bis 8, und ziehst dann den Flächeninhalt des Kreises von der Fläche ab.

Integral = 21,33

Flächeninhalt Kreis = π * 2²

Gruß, Silvia

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Was soll ich mittelpunkt anfangen ? Brauche ich diesen überhaupt

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Ich habe ihn für meine Rechnung nicht gebraucht.