Beweis: ∑ (k = 0 bis n) (n über k)·(n über n - k) = (2·n über n)

Question

Schönen Abend liebe Mathematiker, ich komme hier leider nicht weiter, da man diese Aufgabe ohne Induktion lösen muss. Wäre nett wenn mir jemand aushelfen könnte

$$\sum_{k=0}^{n}{\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}}\begin{pmatrix} n\\n-k \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2n\\n \end{pmatrix}$$

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Vom Duplikat:

Titel: Analysis I Aufgabe 8 Übungsblatt 2

Stichworte: analysis,übung

Aufgabe 8 (8P) Zeigen Sie ohne vollständige Induktion, dass

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Suche in den Fragen der letzten Tage. Das hatten wir schon.

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ich habe versucht die Lösung in den letzen Fragen zu finden ,, aber es nicht geschafft .. können sie hier noch mal schreiben .. oder eine Linke bitte

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Könnten sie vielleicht die ganze Lösung richtig schreiben Bitte ? es wäre sehr nett  :)

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Vom Duplikat:

Titel: Zeigen Sie ohne vollständige Induktion, dass ∑(k=0)^n (n über k)(n über n-k) = ( 2n über n)

Stichworte: summenformel,binomialkoeffizient,summe,rechenaufgabe

Zeigen Sie ohne vollständige Induktion, dass

∑(k=0)^n (n über k)(n über n-k) = ( 2n über n)

für jedes n ∈ N0.

Answer 1

Führe einen kombinatorischen Beweis, der die 2n-elementige Menge, aus der es eine n-elementige Menge auszuwählen gilt, in zwei Teilmengen mit jeweils n Elementen aufteilt und die Anzahl der Auswahl-Möglichkeiten nach der Anzahl der Elemente aus der ersten Teilmenge abzählt.

Answer 2

Alternative: \((1+x)^n(1+x)^n=(1+x)^{2n}=\cdots+{2n\choose n}x^n+\cdots\). Koeffizient von \(x^n\) noch auf andere Weise bestimmen.

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Könnte jemand vielleicht die ganze Lösung richtig schreiben Bitte ? es wäre sehr nett  :)

Answer 3

Siehe hier

https://www.google.com/url?sa=t&source=web&rct=j&url=https://www.math.tugraz.at/~wagner/KombSkr.pdf&ved=2ahUKEwivhLqy7eTaAhXHshQKHb_-BkMQFjABegQICBAB&usg=AOvVaw2mtcTwZqAadR6IynvGn6bR

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danke .. aber keine Lösung habe ich dazu gefunden .. können sie vielleicht abschreiben ?

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Siehe Satz 2.5,................

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ja aber leider ohne Lösung

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Natürlich steht der Beweis darin. Koeffizentenvergleich der Polynome.

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aber leider weiß ich nicht , wo ich mit der Lösung anfangen soll .. können sie Bitte die angeforderte Lösung hier schreiben , die ich in der Aufgabe schreiben muss .. danke im Voraus

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Durcharbeiten des Beweis musst Du selber machen. Ich schreib das doch nicht nochmal ab. Das macht doch keinen Sinn. Stell konkrete Fragen zum Beweis, dann helfe ich weiter.

Answer 4

Hier sind auch noch schöne Beweise

http://matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=34190