exponentielles wachstum und folgen

Question

ich hätte Fragen zu zwei Aufgaben und zwar:

Die erste bezieht sich auf Folgen und lautet : "Bei 800ml einer Kochsalzlösung der Konzentration 0,6 mol /l wird folgender Arbeitsschritt mehrfach durchgefürhrt: Entferne 150ml der Lösung und fülle mit 150ml destilliertem Wasser auf. Betrachten Sie die Folge (cn)n der Konzentrationen nach n-maligem Ausführen des Arbeitsschritts."

Ich soll einfach die rekursive und explizite Folge aufschreiben und bin mir unsicher ob meine Lösungen richtig sind, habe als explizite Folge : an = 0,6 · 0,815ⁿ , rekursiv : a_n+1 = a_n · 0,815 raus.

Die zweite Aufgabe bezieht sich auf exponentielles Wachstum:

"Auf einer vier Hektar großen Grünfläche in der Innenstadt haben sich wilde Kaninchen angesiedelt. Im ersten Jahr werden 10 Tiere gezählt, im zweiten bereits 150"

Bei der ersten Aufgabe soll ich die Anzahl an Kaninchen nach 5 Jahren berechnen.

Kann man dies einfach mit 10 = 10¹(erstes Jahr), 150 = 10² + 50 (zweites Jahr) berechnen ?

Dann käme nämlich bei fünf Jahren 100200 raus . Es wird außerdem gefragt ob diese Zahl realistisch ist.

Bei der zweiten Aufgabe soll ich die Anzahl an erwarteten Kaninchen berechnen, wenn man von einer Populationsdichte von 150 Tieren pro Hektar ausgeht.

Da weiß ich leider nicht weiter. Ich hoffe, dass jemand mir genau erklären kann, wie man diese Aufgaben rechnen kann. Danke

Answer 1

Die erste bezieht sich auf Folgen und lautet : "Bei 800ml einer Kochsalzlösung der Konzentration 0,6 mol /l wird folgender Arbeitsschritt mehrfach durchgefürhrt: Entferne 150ml der Lösung und fülle mit 150ml destilliertem Wasser auf. Betrachten Sie die Folge (cn)n der Konzentrationen nach n-maligem Ausführen des Arbeitsschritts."

Warum ist es nicht

c(n) = 0.6 * ((0.8 - 0.15)/0.8)^n =  0.6 * (0.8125)^n

Comments

Auf einer vier Hektar großen Grünfläche in der Innenstadt haben sich wilde Kaninchen angesiedelt. Im ersten Jahr werden 10 Tiere gezählt, im zweiten bereits 150"

Bei der ersten Aufgabe soll ich die Anzahl an Kaninchen nach 5 Jahren berechnen.

10·(150/10)^5 = 7593750

Das ist natürlich unrealistisch.

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Bei der zweiten Aufgabe soll ich die Anzahl an erwarteten Kaninchen berechnen, wenn man von einer Populationsdichte von 150 Tieren pro Hektar ausgeht.

Hier würde ich ein logistisches Wachstum mit einer Grenze von 4 * 150 = 600 Tieren vorschlagen. Ich mag aber auch total deneben liegen.

10·600/(10 + (600 - 10)·EXP(- LN(59/3)·5)) = 600

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Ist das wirklich so unrealistisch?

"Die Vermehrungsrate ist enorm: das Weibchen kann fünf bis sieben Würfe pro Jahr austragen, die Tragzeit beträgt zwischen vier und fünf Wochen und die Wurfgröße durchschnittlich fünf bis sechs, in Ausnahmefällen bis zu neun Jungtiere."

Es muss halt davon abgesehen werden, dass Neugeborene nicht sofort Nachwuchs bekommen.

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Ist das wirklich so unrealistisch?

Berechne mal wie viele Hasen dann auf einen Quadratmeter kommen.

(c) https://www.bildungsverbund-buch.de/wp-content/uploads/2017/03/SenUVK_Wildkaninchen.pdf

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erstmal Dankeschön an euch beiden für die hilfreiche Antwort :) Ich hätte lediglich eine Frage zur zweiten Aufgabe  , wenn ich die Formel für logistisches Wachstum benutzte , also : F(5) = 6000 / 10+ (590)e^{-600 15 5}  dann kommt etwas sehr unrealistisches raus, könntest du mir das vielleicht nochmal erklären , wäre die sehr dankbar :)

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Hallo kappa123,

https://www.youtube.com/watch?v=q7zw0oS8tnw

Hier gehts sogar um deine Kaninchen. Ich gucks mir selbst mal an.

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Du musst voerst die noch vorhandende Kapazität bestimmen, das heißt: Du musst ausrechnen wie viel Platz für die Kaninchen auf dem vier Hektar großen Feld ist.$$f'(t)=k\cdot f(t)\cdot (G-f(t))$$ Das ist eine Differntialgleichung. Du musst nur die Propotionalitätskonsante, das heißt die Steigung der Kurve bestimmen. G ist der Maximalwert (den musst du auch bestimmen, wie viel Platz ist auf dem Feld?)

Achso f(t) ist übrigensw:

f(t)=10*15^t

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Bei der zweiten Aufgabe soll ich die Anzahl an erwarteten Kaninchen berechnen, wenn man von einer Populationsdichte von 150 Tieren pro Hektar ausgeht.

Wenn das so ist, dann:

4*150=600 Kaninchen

Das wäre dann dein "G" würde ich mal sagen!

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So, ich probiere es mal:$$150=\frac{10\cdot 600}{10+(600-10)\cdot e^{-200k\cdot 2}}$$ Lös den Klumpen nach "k" auf. Wolfram sagt:

k≈0.0074473

Unser logistisches Wachstumsmodel lautet dann:$$B(t)=\frac{10\cdot 600}{10+(600-10)\cdot e^{-600\cdot0.0074473\cdot t}}$$ Wenn ich da jetzt für t=5 einsetze, kommt mal hoffentlich was ordentliches raus:$$B(5)=\frac{10\cdot 600}{10+(600-10)\cdot e^{-600\cdot0.0074473\cdot 5}}≈ 599.999993$$ Ich weiß nicht, ob ich mich freuen oder heulen soll? Ist das gut, oder schlecht. Decide for yourself. Der Graph gibt mir aber Hoffnung das da was dran ist:https://www.desmos.com/calculator/2d0r8iocfz

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Alles klar, danke für deine Hilfe .

Answer 2

N(t)=N0*q^t

Erst musst du den Wachstumsfaktor "q" bestimmen:

150=10*q^1

q=15

N(t)=10*15^t

N(5)=10*15^{5}

N(5)=7593750