Wieviel Sitzordnungen gibt es für... a,b,c.. - Brauche ich Variationen hier ?

Question

Problem
Ich bin mir nicht sicher aber ich komme bei dieser Aufgabe zumindest bei a und b auf andere Resulate.

Meine Vermutung zum Problem
Ich kenne bisher die Permutation, also wenn es

1. ausschliesslich n ungleiche Elemente gibt: P(n) = n!
2.  unter den n Elementen noch n_(1), n_(2),...n_(n) gleiche gibt: P(n; n_(1), n_(2),...n_(n)) = n! / n_(1)! n_(2)! ... n_(n) !

Weiter ist aber in diesem Aufgabenbuch die Rede von Variationen, ich glaube diese könnten in dieser Aufgabe hier zum Zuge kommen und weil ich sie nicht anweden kann, bekomme ich  falsch Resultate.

Aufgabenstellung:

a) Wieviele Sitrordnungen gibt es für Anaïs (A), Beat (B), Cedric (C), Dina (D), und Eva (E) am runden Tisch?

Wieviele Sitzordnungen sind es wenn..
b) die beiden Herren unbedingt nebeneinander sitzen wollen?

c) Eva nicht neben Beat sitzen will?

Lösungen:

a)
Meine Lösung: P(5) = 5! = 120
Buch Lösung: 24

b) 
Meine Lösung: 24 (Ich habe alle Möglichkeiten auf ein Blatt Papier aufgelistet und zusammengezählt.)
Buch Lösung: 12

c) 
Meine Lösung: Kein Ansatz
Buch Lösung: 12

Answer 1

a)

Das ist doch ganz einfach. An einem runden Tisch kann niemals einer nicht neben zwei Person sitzen! Es ist immer einer rechts und links von dir, deshalb:

4!=24

Das wird in der Kombinatorik oft als "Spezialfall runder Tisch" betiltet und ist wirklich etwas tricky. Hier gilt aber:$$\frac{n!}{n}$$Also:$$\frac{5!}{5}$$

In einem Bücherregal mit 5 Büchern z. B. kann ein Buch teilweise nur einen Nachbarn haben. Da wäre es dann:

5!=120

b)

Hier gibt es die beiden Männer die 2! Möglichkeiten haben sich zu setzen und die Damen, die haben 3! Möglichkeiten, die multiplizierst du einfach zusammen:

3!*2!=12

c)

Bin mir nicht ganz sicher, aber sollte es nicht eigentlich dasselbe sein? Wenn zwei unbedingt oder zwei auf gar keinen Fall zusammen sitzen wollen ist das kombinatorisch dasselbe, denke ich.

3!*2!=12

Comments

Ich kann nicht nachvollziehen, wieso es jetzt 4! statt 5! ist. 

Ich kann aber nachvollziehen, dass jeder an einem runden Tisch immer links und rechts einen Sitznachbarn hat.

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Habe noch etwas dazugeschrieben! Werde deine Frage im nächsten Kommentar beantworten

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So, hallo nochmal:

Hier siehst du, dass in einer Bücherregal (hier das blaue) nur einen Nachbarn hat, wohingegen es am Tisch unausweichlich ist nicht zwei Nachbarn zu haben. Dadurch verliert man eine Permutation und es wird statt 5! nur noch 4!

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Also  fällt das in die Permutation rein wobei die Reihenfolge eine Rolle spielt oder spielt hier die Kombination eine Rolle ? 

Ist es Permutation oder Kombination ?

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Lass mich nicht lügen, aber ich denke, dass ist Permutation! Aber wie gesagt ein Spezialfall. Falls du dich noch weiter für Kombinatorik interessierst. Hier ist noch mehr zur Kombinatorik:

https://www.mathelounge.de/532659/sitzplatze-studierende-wieviele-sitzplatzverteilungen

Dort sind (so gut) wie alle Sachen, die du für die Kombinatorik wissen musst. Mit Anleitung, die richtige Formel zu finden.

Aufpassen aber bei:

"georndet, ohne Zurücklegen"

Das sollte eigentlich

"geordnet, mit Zurücklegen" heißen!

Dort ist zwar nicht dein Tischproblem, aber (aus meiner Sicht) viele hilfreiche Tipps.

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Aha super, ja dann muss ich mir den Spezialfall runder Tisch merken: n!/n

b)
Die beiden Herren wollen unbedingt nebeneinander sitzen, sie können das auf 2! verschieden Arten, also 2 Möglichkeiten BC und CB.

Die 3 Damen müssen ja nicht unbedingt nebeneinander sitzen. Aha es ist ein "runder Tisch" sie werden also unweigerlich nebeneinander Sitzen. 
Ich wusste allerdings nicht, dass ich hier diese beiden Permutationen miteinander multiplizieren darf. 

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Doch, das darfst du!

Gut, tu das "Spezialfall runder Tisch" ist gut zu wissen, da es oft mal in der Kombinatorik als Extra-Frage erscheint, das zeugt von gutem Wissen, wenn man das kennt!

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Also ich habe unter diesem Link geschaut, jedoch finde ich auf den ersten Blick nicht den Schreibfehler: 

"georndet, ohne Zurücklegen"

Das sollte eigentlich

"geordnet, mit Zurücklegen" heißen!

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hier:

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Rückfrage: Ist dieser Spezialfall irgendwie zu Zeigen?

Den sehe ich nicht intuitiv, habe das einfach so akzeptiert.

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Hallo limo,

Schreibe dir mal die Ergebnisräume Ω der beiden Darstellungen auf:

Für den Tisch oben und für das "Bücherregal". Du wirst schnell sehen wie verschieden das ist!

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Hallo Limonade,

Deine Frage hat mein Interesse geweckt, schau mal hier ob du damit vielleicht mehr verstehst:

https://www.mathelounge.de/541883/mathe-artikel-die-kunst-des-zahlens-ringpermutationen

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Nice! Ich bin super-late mit anderen Sachen.

Ich schaue es mir morgen an! :)

Answer 2

Zu a) Deine Lösungsidee ist richtig. Allerdings deutet der "runde Tisch" unausgesprochen darauf hin, dass zyklische  Vertauschungen miteinander identfiziert werden sollen. Da in deinen 120 Sitzordnungen immer 5 durch zyklische Vertauschung auseinander hervorgehen, gibt es in diesem Sinne 120/5=24 verschiedene Sitzordnungen.

Der Fehler liegt nicht bei dir, sondern beim Aufgabensteller.

Comments

Ja, ich kann mir das bildlich nicht vorstellen, bzw. welche Bedeutung es hat.