Question

Entscheiden Sie jeweils, welche der Axiome erfüllt ist und welche nicht:


Die Axiome:

(1) fur alle a, b, c ∈ G gilt: a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c,
(2) es existiert ein e ∈ G, so dass fur alle a ∈ G gilt: a ∗ e = e ∗ a = a,
(3) fur alle a ∈ G existiert b ∈ G, so dass a ∗ b = b ∗ a = e gilt.

(a) Die Menge ℤ zusammen mit der Verknüpfung   x * y = x+2y.

(b) Die Menge ℤ zusammen mit der Verknüpfung       x ∗ y = x + y + 1.

Habe es versucht bin mir aber nicht sicher, ob meine Lösung stimmt.

Comments

Habe es versucht bin mir aber nicht sicher, ob meine Lösung stimmt.

Dann stell doch deine Lösung einfach mal ein.

Answer 1

  Zu a)

        Machen wir es doch allgemeiner.

        (  x  *  y  )  :=  x  +  k  y        (  1  )

    ( x * y ) * z = ( x + k y ) * z = ( x + ky ) + k z = x + k ( y + z )    ( 2 )

   y  *  z  =  y  +  k  z        (  3a  )

  x * ( y * z ) = x + k ( y + k z ) = k ² z + k y + x   (  3b  )

        gleich setzen von  ( 2;3b )

    k  ²  z  +  k  y  +  x  =  k  z  +  k  y  +  x    (  4a  )

    k  (  k  -  1  )  z  =  0     (  4b  )

    Ganz klare Antwort; da ja z beliebig ist.  Entweder hast du mit k = 0 die triviale Algebra oder mit k = 1 die kanonische.

    Jetzt die neutralen; zunächst linksneutral.

     e  *  y  =  e  +  k  y  =  y  ===>  e  =  y  (  1  -  k  )    (  5a  )

   Wir sehen also:  Ein ( von y unabhängiges ) Linksneutrales gibt es nur in dem traditionellen Fall k = 1 . An dieser Stelle sei doch vermerkt, dass ich mich schon als Student gezwungen sah, die Gruppenaxiomatik von einem übergeordneten Standpunkt einer grundsätzlichen Kritik zu unterziehen; von mir stammt der Begriff des " lokal Linksneutralen " ( LLN ) - Interesse? Jetzt recnchtsneutrale

    x  *  e  =  x  +  k  e  =  x  ===>  e  =  0      (  5b  )

   Man sollte das doch festhalten; wir haben hier den patologischen Fall, dass es ein ( eindeutiges ! ) Rechtsneutrales gibt, aber kein linksneutrales.

     Wie zögerlich sich  sogar die selbstverständlichsten matematischen Forschungsmetoden durchsetzen. Bis zum 2. Weltkrieg fehlte  JEGLICHES ( ! )  Bewusstsein, dass es in einer nicht kommutativen Struktur ( so wie hier ! ) einer besonderen Rechtfertigung bedarf,  wenn du her gehst und sagst,  das neutrale Element vertauscht mit ALLEN Elementen der Gruppe. Als Studenten lag mir ein russisches Standardwerk der Gruppenteorie aus dem Jahre 1940 vor  ( Verfasser mir leider entfallen )  die die Frage mit keinem wort streifen.

   Es scheint dann auf lange nach dem 2.Weltkrieg ( Kowalsky; Greub )  ; aber ich sagte es schon. Für mich ist der gegenwärtige Stand der Dinge immer noch höchst unbefriedigend.  Und jetzt zu b)

    ( x * y ) * z = ( x + y + k ) * z = x + y + z + 2 k     (  6a  )

    y  *  z  =  y  +  z  +  k     (  6b  )

  x  *  (  y  *  z  ) = x  +  y  +  z  +  2  k       (  6c  )

    Hätt ich nicht gedacht; ist assoziativ.  Links neutral

     e  *  y  =  e  +  y  +  k  =  y  ===>  e  =  -  k      (  7  )

    und noch linksinvers

     y  '  *  y  =  -  k       (  8a  )

    y  '  +  y  +  k  =  -  k  ===>  y  '  =  y  ^ -  1  =  -  (  y  +  2  k  )       (  8b  )

    Abgeschlossenheit  von |Z ist wohl klar; hey wer hätte je geddacht, dass das für beliebige k noch eine Gruppe gibt?