Duale Basis zu der Basis bestimmen

Question

ich muss zu den Basen :

v1 = (−5; 2; 4); v2 = (−5; 1; 3); v3 = (3;−2;−3)

die duale Basis bestimmen.

Wie gehe ich voran ?

Ich habe erstmal

v1v1* = 1

v2v1* = 0

v3v1* = 0

v1v2* = 0

v2v2* = 1

v3v2* = 0

v1v3* =0

v2v3* = 0

v3v3* = 1

Es entsteht jeweils zu v1* bzw. zu v2* und zu v3* eine Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten.

Stimmt dieser Ansatz? Ich habe gegoogelt, bin leider nicht fündig geworden wie man eine duale Basis zu Basen berechnet.

Auch im Skript steht nichts wirkliches darüber.

Grüße

Answer 1

wenn z.B. v1*(x) = a*x1+b*x2+c*x3 ist,  (und alle Linearformen

von R^3 nach R sehen so aus) dann musst du letztlich nur die a,b,c bestimmen.

Das hast du genau richtig beschrieben.

Du kann aber auch für alle 3 Linearformen der dualen Basis das auf einmal machen,

dann rechnest du genau so wie bei der Bestimmung einer inversen Matrix.

Deine gegebenen Basisvektoren bestimmen die Matrix

-5     -5      3
2      1       -2 
4      3      -3

und die inverse davon ist

3      -6     7
-2      3     -4
2      -5      5

Die duale Basis wird also gebildet von der Linearformen

v1* (x1,x2,x3) = 3x1   - 6x2   +   7x3

v2*  (x1,x2,x3) = -2x1   +3x2   -4x3

v3*  (x1,x2,x3) = 2x1   -5x2   +5x3

Comments

Ich hätte da noch zwei Fragen :

1. Ich dachte die Matrix würde so lauten :

-5 2 4

-5 1 3

3 -2 -3

2. Ist es also eine Abkürzung die Inverse von der Matrix zu berechnen um die duale Basen zu bestimmen ?

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Und dann? sorry, ich komme leider novh nicht weiter...