Erst mal zeigen, dass die drei gegebenen eine Basis von R^3 bilden.
Da es 3 Stück sind, brauchst du nur zu zeigen, dass sie lin. unabh.
sind, also schreibe sie in eine Matrix M und zeige det(M)≠0.
Die Elemente im Dualraum sind ja lineare Abbildungen (sog. Linearformen) von R^3 nach R.
Die sind also alle von der Form f(\(\begin{pmatrix} x \\ y\\ z \end{pmatrix}) = ax+by+cz \)
Und a,b,c sind die Koeffizienten der Linearform.
Und für das erste Element der dualen Basis musst du die a,b,c so
bestimmen, dass gilt
f(\(\begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ -1 \end{pmatrix}) = 1 \)und f(\(\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix}) = 0 \)und f(\(\begin{pmatrix} 0 \\ 1\\ -0,5\end{pmatrix}) = 0 \)
oder als Matrizenprodukt geschrieben
f(\(\begin{pmatrix} x \\ y\\ z \end{pmatrix}) =\begin{pmatrix} a &b& c \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} x \\ y\\ z \end{pmatrix} \)
Also hast du
\(\begin{pmatrix} a &b& c \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ -1 \end{pmatrix} =1\) und
\(\begin{pmatrix} a &b& c \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix} =0\) und
\(\begin{pmatrix} a &b& c \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} 0 \\ 1\\ -0,5 \end{pmatrix} =0\)
Die letzten 3 Gleichungen kannst du zu einer Matrixgleichung zusammenfassen:
\( \begin{pmatrix} a &b& c \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 &1&0\\ 0&1&1\\ -1&1&-0,5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 &0 & 0 \end{pmatrix} \)
Wenn du den 2. Basisvektor der dualen Basis bestimmen willst und
diese Linearform die Koeffizienten d,e,f hat, bekommst du entsprechend
\(\begin{pmatrix} d &e& f \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} 1 &1&0\\ 0&1&1\\ -1&1&-0,5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&1&0 \end{pmatrix} \)
und g,h,i für die 3. Linearform
\(\begin{pmatrix} g&h& i \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 &1&0\\ 0&1&1\\ -1&1&-0,5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&1&0 \end{pmatrix} \)
Diese 3 Matrizengleichungen kannst du auch zu einer zusammenfassen:
\(\begin{pmatrix} a &b& c\\d&e&f\\g&h&i \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 &1&0\\ 0&1&1\\ -1&1&-0,5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 &0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix} \)
==>
\(\begin{pmatrix} a &b& c\\d&e&f\\g&h&i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 &1&0\\ 0&1&1\\ -1&1&-0,5 \end{pmatrix} ^{-1} \)
