Zeige, dass die Vektoren eine Basis bilden und bestimmen sie die duale Basis

Question

Man zeige, dass die Vektoren v1 = (1; 1; 0), v2 = (0; 1; 0) und v3 = (0; 1;-1) eine Basis von R^3 bilden, und bestimme die dazu duale Basis von (R^3)*.

Wie geht das?

Answer 1

dass die Vektoren v1 = (1; 1; 0), v2 = (0; 1; 0) und v3 = (0; 1;-1) eine Basis von R³ bilden:

Da R3 die Dimension 3 hat, reicht es zu zeigen, dass die drei

linear unabhängig sind.

Bilde dazu das Gleichungssystem x*v1 +y*v2+z*v3 = 0-Vektor

und zeige: Das hat als einzige Lösung x=y=z=0.

Jedes Element des Dualraumes ist eine Linearform der Art

f(x,y,z) = a*x + b*y +c*z

Wenn du die 9 Koeffizienten der dualen Basis in eine Matrix A schreibst,

und die gegebenen Vektoren als Spaltenvektoren einer Matrix B  als betrachtest, 

dann gilt    A * B = E   (Einheitsmatrix).

Also ist B = A^-1   =

1     0     0
-1    1     1
0     0     -1 

Die duale Basis besteht also aus den drei Linearformen

f1(x,y,z)= x
f2(x,y,z)= -x + y + z
f3(x,y,z)= -z