Stochastik Wahrscheinlichkeit

Question

Die Wahrscheinlichkeit p_n, dass eine Familie genau n Kinder hat, sei apⁿ für n ≥ 1 und p₀= 1−ap(1+p+p²+···), wobei p ∈ (0,1) und 0 < a ≤ (1−p)/p. Ferner seien für Familien mit der Kinderzahl n die Geschlechter der Kinder gleichverteilt.
(a) Zeigen Sie für k ≥ 1, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Familie genau k Jungen hat, gegeben ist durch 2ap^k/(2 − p)^k+1

(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Familie mindestens zwei Jungen hat unter der Bedingung, dass sie wenigstens einen Jungen hat ?

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b)
P(mind. 2 Jungen) = 1 - 2·a·p^0/(2 - p)^{0 + 1} - 2·a·p^1/(2 - p)^{1 + 1} = 1 - 4·a/(2 - p)^2
P(mind. 1 Jungen) = 1 - 2·a·p^0/(2 - p)^{0 + 1} = 1 - 2·a/(2 - p)

P(mind. 2 Jungen | mind. 1 Jungen) = P(mind. 2 Jungen) / P(mind. 1 Jungen) = (1 - 4·a/(2 - p)^2) / (1 - 2·a/(2 - p)) = (4·a - (2 - p)^2) / ((2 - p)·(2·a + p - 2))