Folgerung mittels des binomischen Lehrsatzes

Question

Nabend! Die untere Gleichung soll mit dem binomischen Lehrsatz gezeigt werden. Ich weiß soweit, dass man auf $$(1+1)^n * (1+1)^n = {2}^{n+n}$$ kommen sollte. Doch der Weg dahin ist mir unklar.

$$\sum_{k=0}^{n}{\begin{pmatrix} 2n+1\\k \end{pmatrix}}={2}^{2n}$$

Answer 1

Binomischer Lehrsatz:

$$ \sum_{k=0}^{2n+1} \binom{2n+1}{k} = (1+1)^{2n+1} = 2^{2n+1} $$

Überlege dir wieso

$$ \sum_{k=0}^{n} \binom{2n+1}{k} = \sum_{k=n+1}^{2n+1} \binom{2n+1}{k} $$gilt. Dann erhältst du

$$ 2\cdot \sum_{k=0}^{n} \binom{2n+1}{k} = \sum_{k=0}^{2n+1} \binom{2n+1}{k} = 2^{2n+1} $$

die Behauptung.