Goniometrische Gleichung lösen: tan(2·x)-3·cot(2·x)=-2

Question

folgende Aufgabe bereitet mir Probleme.

$$\operatorname { tan } ( 2 x ) - 3 \operatorname { cot } ( 2 x ) = - 2$$

In einer Formelsammlung fand ich entsprechende Umstellungsmöglichkeiten, um so auf

$$\frac { 2 } { \operatorname { cot } ( x ) - \operatorname { tan } ( x ) } - 3 \frac { \operatorname { cot } ( x ) - \operatorname { tan } ( x ) } { 2 } = - 2$$zu kommen. Passt das? Woher kommt dieser Zusammenhang überhaupt? Bzw. ist das leicht zu beweisen/herzuleiten oder eher ein Zusammenhang, den man lieber stumpf auswendig lernt? ;-)

Und wie gehe ich beim Lösen meiner Gleichung nun weiter vor, sollte das soweit stimmen?

Answer 1

Das sind anscheinend Doppelwinkelformeln.

Sie kommen von den Additionstheoremen. Vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Doppelwinkelfunktionen

Davon solltest du sin(A±B) und cos(A±B) auswendig kennen. Den Rest kann man bei Bedarf auch wieder herleiten mit den bekannteren Identitäten für trigonometrische Funktionen.

Zum weiteren Vorgehen bei deiner Rechnung. Ersetze cot x durch 1/tanx.

Nun hast du nur noch eine Winkelfunktion in der Gleichung. Löse nach normalen Bruchrechnungsregeln die Gleichung nach tanx auf. Es ist übersichtlicher, wenn du erst mal u=tanx setzt  und dann nach u auflöst.

Comments

Alternative:

tan(2x) - 3cot(2x) = -2

          |Ersetze cot(2x) durch 1/tan(2x)

tan(2x) - 3/tan(2x) = -2

           |Setze tan(2x) = u

u - 3/u = -2       |*u

u^2 - 3 = -2u

u^2 + 2u - 3 = 0      |quadr. Gleichung. Formel oder faktorisieren

(u -1)(u+3) = 0

u1 = 1 = tan(2x)

u2 = -3 = tan(2x)

u1 = 1 = tan(2x)

arctan(1) = 2x = π/4 + kπ

x_k = π/8 + kπ/2

u2 = -3 = tan(2x)

arctan (-3) = 2x = -71.560° + k180°

x_k = -35.783° + k90°

Via Dreisatz noch in Bogenmass umrechnen.

Answer 2

Ich würde das eventuell wie folgt probieren:

TAN(2·x) - 3·COT(2·x) = -2
TAN(2·x) - 3/TAN(2·x) = -2

Substitution z = TAN(2·x)

z - 3/z = -2
z^2 - 3 = - 2·z
z^2 + 2·z - 3 = 0
z = -3 ∨ z = 1

x = ARCTAN(z)/2 ± n·pi/2

x = ARCTAN(1)/2 = pi/8 ± n·pi/2
x = ARCTAN(-3)/2 = -0.6245228861 ± n·pi/2