Wahrscheinlichkeit Rechnungen

Question

hallo ich habe eine frage zur durch Führung dieser Mathe Aufgabe :

Bei einem Spiel werden mit 32 Karten gespielt. Es gibt 4 Farben ( Karo, Herz, Pik, Kreuz) und von jeder Farbe 8 Karten ( sieben , acht , neun , zehn , Bube, Dame , König , Ass ). Aus dem Kartenspiel wird eine Karte zufällig gezogen.

Zeigen sie, dass die beiden Ereignisse A ;" ein Ass wird gezogen" und B "eine Herzkarte wird gezogen" ( voneinander) unabhängig  sind.

wie muss ich da vor gehen ?

Answer 1

A: Ein Ass wird gezogen
B: Eine Herzkarte wird gezogen
A ∩ B: Ein Herz-Ass wird gezogen

P(A) = 4/32 = 1/8
P(B) = 8/32 = 1/4
P(A ∩ B) = 1/32

P(A) * P(B) = P(A ∩ B)
1/8 * 1/4 = 1/32
stimmt --> damit sind A und B unabhängig.

Comments

Ich bin etwas verwirrt. Vermutlich verstehe ich das Konzept der stoch. Unabhängigkeit nicht richtig. Die Rechnung entsprechend der Bedingung für Unabhängigkeit verstehe ich. Mir bereitet es Probleme zu verstehen, was es bedeutet wenn zwei Ereignisse unabhängig sind. Ich hätte vermutet die beiden Ereignisse oben wären abhängig, weil es ja ein ass gibt, das gleichzeitig eine herzkarte ist und eine herzkarte die gleichzeitig ein ass ist. Was bedeutet es in Worten, dass diese beiden Ereignisse unabhängig sind? Hast du eine Idee was ich meine?

---

Etwas klarer wir es wenn ich folgende Fragen stelle

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit das du ein Ass gezogen hast, wenn man weiß das du eine Herz Karte gezogen hast.

P(Ass | Herz) = ...

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit das du ein Ass gezogen hast, wenn man weiß das du KEINE Herz Karte gezogen hast.

P(Ass | kein Herz) = ...

Wenn P(Ass | Herz) = P(Ass | kein Herz) ist, dann sind die beiden Merkmale unabhängig.

---

Hier noch zwei typische Beispiele.

1. In einer Urne sind 5 schwarze und 5 weiße Kugeln. Man zieht 2 Kugeln MIT Zurücklegen und betrachtet die Ereignisse

A: Erste gezogene Kugel ist weiß

B: Zweite gezogene Kugel ist weiß

Sind A und B stochastisch unabhängig?

2. In einer Urne sind 5 schwarze und 5 weiße Kugeln. Man zieht 2 Kugeln OHNE Zurücklegen und betrachtet die Ereignisse

A: Erste gezogene Kugel ist weiß

B: Zweite gezogene Kugel ist weiß

Sind A und B stochastisch unabhängig?

---

1)

P(A)=5/10=1/2

P(B)=5/10=1/2

P(A∩B)=1/2*1/2=1/4=P(A)*P(B)

unabhängig

2)

P(A)=5/10=1/2

P(B)=1/2*4/9+1/2*5/9=4/18+5/18=9/18=1/2

P(A)*P(B)=1/2*1/2=1/4

P(A∩B)=P(A)*P(B|A)=1/2*4/9=4/18 ≠ P(A)*P(B)

abhängig

Ist das richtig?

---

Ja genau. Und das ist bis auf einen Tippfehler von 11/2 auch gut aufgeschrieben.

---

Prima Danke, habe ich korrigiert. Ich denke das rechnerische Konzept kann ich verstehen. Hast du eine Idee wie man das Konzept der Unabhängigkeit mit Worten noch besser verdeutlichen kann?

---

Ereignisse sind stochastisch abhängig, wenn sich die Wahrscheinlichkeit des einen Ereignisses von dem Zutreffen des anderen Ereignisses positiv oder negativ beeinflusst wird.

Beeinflusst z.B. die Augenfarbe die Wahrscheinlichkeit ob jemand blonde Haare hat.

Beeinflusst z.B. das nicht Vorhandensein einer Alarmanlage die Wahrscheinlichkeit eines Einbruches?

---

Ok, danke, ich versuche mir das mal so zu merken.

Answer 2

Zwei Ereignisse sind unabhängig, wenn folgendes gilt:

P(A∩B)=P(A)*P(B)

Schreibe dir erstmal die Wahrscheinlichkeiten für einen Ass auf, die liegt bei:

P(A)=4/32

Die Wahrscheinlichkeit für eine Herzkarte liegt bei:

P(B)=8/32

P(A∩B)=P(A)*P(B)

Wobei P(A∩B):

(4/32)*(8/31)

=1/31

1/31=4/32 * 8/32

1/31=1/31   ----> stoch. unabhängig.

Ich bin zwar kein Experte, aber das würde ich jetzt so von Wiki ableiten!

Comments

Kannst du das Ergebnis vielleicht sogar bestätigen, weil du Lösungen hast?

---

Das solltest du oben schnell verbessern.

Es wird NICHT zweimal hintereinander gezogen!

---

Meine Bearbeitungszeit ist seit 40min abgelaufen.

Was meinst du damit, ich habs doch genauso wie du

---

Oben steht z.B.

1/31 = 4/32 * 8/32

1/31 = 1/31

Rechne das doch mal nach.

---

Hehe, Typo.

4/32 * 8/31 = 1/31

---

A∩B  = "gezogene Karte ist ein Ass und eine Herzkarte"

         = "g.K. ist das Herz-Ass"

P(A∩B) = 1/32  [ ≠ 1/31 ]

---

Interesting assumption, Sherlock. Though I am afraid that's not true!

Das ist mal wieder zu ein verzwicktes Sprachgemisch, was die Interpretation erschwert. Ich glaube aber nicht, dass das stimmt.

Oder doch?

---

Es wird NICHT zweimal hintereinander (ohne zurücklegen) gezogen!

Es wird nur einmal gezogen und man betrachtet dabei die Ereignisse A und B und prüft diese auf stochastische Unabhängigkeit.

---

Interesting assumption, Sherlock. Though I am afraid that's not true!

You're way off, Watson!  :-)

---

Sh*t,

Ich muss mich nochmal intensiv mit der Stochastik auseinandersetzen. Vielleicht sollte ich mich mal zurückziehen und wieder kommen, wenn ich meine Studien vollendet habe.

---

You're way off, Watson!  :-)

Well, it seems like it. Sherlock always prevails! :)

---

Ich weiß wie schwer die Stochastik sein kann. Da hilft aber eigentlich nicht sich zurückziehen sondern im Gegenteil das Beschäftigen damit. Ich habe hier auf dieser Seite meine Kompetenzen in Sachen Stochastik sehr erweitert. Indem ich oft und verschiedene Aufgaben versuche zu lösen.

---

Vielleicht sollte ich mich mal zurückziehen und wieder kommen, wenn ich meine Studien vollendet habe.

Vielleicht solltest du auch einfach weitermachen und dem Grundsatz "Weniger ist oft mehr" folgen :-)

Im Übrigen weiß ich aus Erfahrung: Bevor man Mathecoach in der Wahrscheinlichkeitsrechnung widerspricht, ist eine längere Denkpause anzuraten, denn er hat da fast immer recht :-)

---

Ich hasse es auf Fragen keine Antwort zu finden. Dinge, von denen ich weiß, dass ich sie nie verstehen werde. Topologie, Gruppenhomomorphismen, Untervektorräume, ... etc.

---

Sag das nicht. Ich glaube du hast nicht mal ein Buch über die Themen gelesen.

Es gibt Sachen die muss man sich auch einfach mal durchlesen um sie zu verstehen. Und das nicht anhand einer Aufgabe hier. Auch viele Sachen aus der Wahrscheinlichkeit muss man sich z.B. auch durchlesen um sie wirklich zu verstehen.

---

Hast du dir das mal angeguckt? Auf jeden Fall sehr verständlich geschrieben! haha

---

haha. Das sagen meine Schüler auch von einigen Dingen in der Mittelstufe :)

Das ist so als wenn du einen Text auf Chinesisch lesen sollst und sogar ein Chinesisch Chinesisch Dictionary benutzen darfst :)

Solange einem da die Grundlagen fehlen, kann man einen Fachtext nicht verstehen.

---

Das ist einer der besten Vergleiche, die ich jemals gehört habe!