Biquadratische Gleichung mit Parameter: x^4+(3k-k^2)x^2-3k^3=0

Question

Bestimmen sie die anzahl und Vielfachheit der Lösungen in Abhängigkeit vom Parameter m oder k, und bestimmen sie dazu die Lösungen der Variable X.

x^4+(3k-k^2)x^2-3k^3=0

Brauche bitte Hilfe bei der Aufgabe

Answer 1

x^4 + (3·k - k^2)·x^2 - 3·k^3 = 0

Substitution z = x^2

z^2 + (3·k - k^2)·z - 3·k^3 = 0

z = k·(k - 3)/2 - |k·(k + 3)|/2 ∨ z = k·(k - 3)/2 + |k·(k + 3)|/2

Eine Lösung für z bei k = 0 oder k = -3. Ansonsten 2 Lösungen.

x = ±√z

x = ±√(k·(k - 3)/2 - |k·(k + 3)|/2)

Eine Lösung für x für k = 0, zwei Lösungen für k < 0 und keine Lösung für k > 0

x = ±√(k·(k - 3)/2 + |k·(k + 3)|/2)

Eine Lösung für k = 0, zwei Lösungen für k ≠ 0


Also bei

k < -3 --> vier Lösungen

k = -3 --> zwei Lösungen

-3 < k < 0 -->vier lösungen

k = 0 --> Eine Lösung

k > 0 --> zwei Lösungen

Comments

kannst du mir den schritt bitter näher erklären?

z = k·(k - 3)/2 - |k·(k + 3)|/2 ∨ z = k·(k - 3)/2 + |k·(k + 3)|/2

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z² + (3·k - k²)·z - 3·k³ = 0

Wir haben hier eine quadratische Gleichung, die mit der pq-Formel zu lösen ist

p = 3·k - k²

q = - 3·k³

Dann nur noch einsetzen und vereinfachen

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ginge auch die Mitternachtsformel?

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Ja. Mitternachtsformel geht natürlich auch.

Answer 2

zuerst musst du substituieren:        x² = z

dann erhältst du eine quadratische Gleichung,

z² + (3k-k²)z -3k³ = 0

die du mit der p-q-Formel lösen kannst:

z_1/2 = - (3k-k²)/2 ±√⟨ ( (3k-k²) /2 )²+3k³⟩                        Termumformung      

       = 1/2 k²- 3/2 k ±√( 1/4 k⁴ + 3/2 k³ +9/4 k² ⟩             Wurzelterm nach 1. binomischer Formel umformen

      = 1/2 k²- 3/2 k ± √⟨1/2 k²  + 3/2 k)²

also ergibt sich

z₁ = 1/2 k² -3/2k + 1/2 k² + 3/2 k = k²    

z₂ = 1/2 k²  - 3/2 k - 1/2 k²- 3/2 k = -3k

x₁=√z₁=√k²=k

x₂=-√z₁= - √k²= - k

x₃= √ z₂ = √ -3k

x₄ = -√ z₂ = - √ - 3k

jetzt unterscheidest du nur noch drei Fälle:

für      k < 0        gibt es 4 einfache Lösungen: x₁=k, x₂=-k, x₃=√-3k, x₄= - √-3k

für      k = 0        eine vierfache, x₁=x₂=x₃=x₄=0

und für k > 0      zwei einfach, da der Wurzelterm ja negativ wäre

Comments

Eine Frage.

= 1/2 k2- 3/2 k ±√( 1/4 k4 + 3/2 k3 +9/4 k2 ⟩

 

Wieso werden die 3k^3  durch 2 geteilt ? Das Q wird in der PQ Formel doch nicht dividiert

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Formeln gemäss: https://de.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Gleichung

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Stimmt. Ich habe den Wurzelterm umgeformt

((3k-k²)/2)²       +3k³     =   (3/2 k - 1/2 k²)²    + 3k³    

=   9/4 k² - 3/2 k³ + 1/4 k⁴        + 3k³

=1/4 k⁴  + 3/2 k³ + 9/4 k²

Somit steht q nicht mehr separat.

Klar, soweit?

Answer 3

Weg ohne Substitution:

\(x^4+(3k-k^2)x^2-3k^3=0\)

\(x^4+(3k-k^2)x^2=3k^3\)

\(x^4+(3k-k^2)x^2+(\frac{3k-k^2}{2})^2=3k^3+(\frac{3k-k^2}{2})^2\)

\([x^2+(\frac{3k-k^2}{2})]^2=3k^3+(\frac{3k-k^2}{2})^2  |±\sqrt{~~}\)

1.)

\(x^2+(\frac{3k-k^2}{2})= \sqrt{3k^3+(\frac{3k-k^2}{2})^2 }\)

\(x^2= -\frac{3k-k^2}{2}+\sqrt{3k^3+(\frac{3k-k^2}{2})^2 } |±\sqrt{~~}\)

A)

\(x_1= \sqrt{-\frac{3k-k^2}{2}+\sqrt{3k^3+(\frac{3k-k^2}{2})^2 }}\)

\(x_2=- \sqrt{-\frac{3k-k^2}{2}+\sqrt{3k^3+(\frac{3k-k^2}{2})^2 }}\)

2.)

\(x^2+(\frac{3k-k^2}{2})=- \sqrt{3k^3+(\frac{3k-k^2}{2})^2 }\)

\(x^2=-\frac{3k-k^2}{2}- \sqrt{3k^3+(\frac{3k-k^2}{2})^2 }  |±\sqrt{~~}\)

B)

\(x_3= \sqrt{-\frac{3k-k^2}{2}- \sqrt{3k^3+(\frac{3k-k^2}{2})^2 } }\)

\(x_4= -\sqrt{-\frac{3k-k^2}{2}- \sqrt{3k^3+(\frac{3k-k^2}{2})^2 } }\)

Comments

Und was soll das?

Bestimmen sie die anzahl und Vielfachheit der Lösungen in Abhängigkeit vom Parameter

hast du in keiner Weise berücksichtigt, und die Darstellungsform deiner 4 Lösungen (wenn sie überhaupt in dieser Anzahl existieren) ist nicht hilfreich.

Lies diese Lösung vom 11. Oktober 2013 und lerne:

x1=√z₁=√k²=k

x2=-√z₁= - √k²= - k

x3= √ z₂ = √ -3k

x4 = -√ z₂ = - √ - 3k

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√k²=k

Das ist auch nicht ganz korrekt.