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Bestimmen sie die anzahl und Vielfachheit der Lösungen in Abhängigkeit vom Parameter m oder k, und bestimmen sie dazu die Lösungen der Variable X.

x^4+(3k-k^2)x^2-3k^3=0

Brauche bitte Hilfe bei der Aufgabe
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x^4 + (3·k - k^2)·x^2 - 3·k^3 = 0

Substitution z = x^2

z^2 + (3·k - k^2)·z - 3·k^3 = 0

z = k·(k - 3)/2 - |k·(k + 3)|/2 ∨ z = k·(k - 3)/2 + |k·(k + 3)|/2

Eine Lösung für z bei k = 0 oder k = -3. Ansonsten 2 Lösungen.

x = ±√z

x = ±√(k·(k - 3)/2 - |k·(k + 3)|/2)

Eine Lösung für x für k = 0, zwei Lösungen für k < 0 und keine Lösung für k > 0

x = ±√(k·(k - 3)/2 + |k·(k + 3)|/2)

Eine Lösung für k = 0, zwei Lösungen für k ≠ 0


Also bei

k < -3 --> vier Lösungen

k = -3 --> zwei Lösungen

-3 < k < 0 -->vier lösungen

k = 0 --> Eine Lösung

k > 0 --> zwei Lösungen
Avatar von 487 k 🚀
kannst du mir den schritt bitter näher erklären?

z = k·(k - 3)/2 - |k·(k + 3)|/2 ∨ z = k·(k - 3)/2 + |k·(k + 3)|/2

z2 + (3·k - k2)·z - 3·k3 = 0

Wir haben hier eine quadratische Gleichung, die mit der pq-Formel zu lösen ist

p = 3·k - k2

q = - 3·k3

Dann nur noch einsetzen und vereinfachen

ginge auch die Mitternachtsformel?
Ja. Mitternachtsformel geht natürlich auch.
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zuerst musst du substituieren:        x2 = z

dann erhältst du eine quadratische Gleichung,

z2 + (3k-k2)z -3k3 = 0

die du mit der p-q-Formel lösen kannst:

z1/2 = - (3k-k2)/2 ±√⟨ ( (3k-k2) /2 )2+3k3⟩                        Termumformung      

       = 1/2 k2- 3/2 k ±√( 1/4 k4 + 3/2 k3 +9/4 k2 ⟩             Wurzelterm nach 1. binomischer Formel umformen

      = 1/2 k2- 3/2 k ± √⟨1/2 k2  + 3/2 k)2

also ergibt sich

z1 = 1/2 k2 -3/2k + 1/2 k2 + 3/2 k = k2    

z2 = 1/2 k2  - 3/2 k - 1/2 k2- 3/2 k = -3k

x1=√z1=√k2=k

x2=-√z1= - √k2= - k

x3= √ z2 = √ -3k

x4 = -√ z2 = - √ - 3k

jetzt unterscheidest du nur noch drei Fälle:

für      k < 0        gibt es 4 einfache Lösungen: x1=k, x2=-k, x3=√-3k, x4= - √-3k

für      k = 0        eine vierfache, x1=x2=x3=x4=0

und für k > 0      zwei einfach, da der Wurzelterm ja negativ wäre

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Eine Frage.

= 1/2 k2- 3/2 k ±√( 1/4 k4 + 3/2 k3 +9/4 k2 ⟩

 

Wieso werden die 3k^3  durch 2 geteilt ? Das Q wird in der PQ Formel doch nicht dividiert

Stimmt. Ich habe den Wurzelterm umgeformt

((3k-k2)/2)2       +3k3     =   (3/2 k - 1/2 k2)2    + 3k3    

=   9/4 k2 - 3/2 k3 + 1/4 k4        + 3k3

=1/4 k4  + 3/2 k3 + 9/4 k2

Somit steht q nicht mehr separat.

Klar, soweit?

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Weg ohne Substitution:

\(x^4+(3k-k^2)x^2-3k^3=0\)

\(x^4+(3k-k^2)x^2=3k^3\)

\(x^4+(3k-k^2)x^2+(\frac{3k-k^2}{2})^2=3k^3+(\frac{3k-k^2}{2})^2\)

\([x^2+(\frac{3k-k^2}{2})]^2=3k^3+(\frac{3k-k^2}{2})^2  |±\sqrt{~~}\)

1.)

\(x^2+(\frac{3k-k^2}{2})= \sqrt{3k^3+(\frac{3k-k^2}{2})^2 }\)

\(x^2= -\frac{3k-k^2}{2}+\sqrt{3k^3+(\frac{3k-k^2}{2})^2 } |±\sqrt{~~}\)

A)

\(x_1= \sqrt{-\frac{3k-k^2}{2}+\sqrt{3k^3+(\frac{3k-k^2}{2})^2 }}\)

\(x_2=- \sqrt{-\frac{3k-k^2}{2}+\sqrt{3k^3+(\frac{3k-k^2}{2})^2 }}\)

2.)

\(x^2+(\frac{3k-k^2}{2})=- \sqrt{3k^3+(\frac{3k-k^2}{2})^2 }\)

\(x^2=-\frac{3k-k^2}{2}- \sqrt{3k^3+(\frac{3k-k^2}{2})^2 }  |±\sqrt{~~}\)

B)

\(x_3= \sqrt{-\frac{3k-k^2}{2}- \sqrt{3k^3+(\frac{3k-k^2}{2})^2 } }\)

\(x_4= -\sqrt{-\frac{3k-k^2}{2}- \sqrt{3k^3+(\frac{3k-k^2}{2})^2 } }\)

Avatar von 40 k

Und was soll das?

Bestimmen sie die anzahl und Vielfachheit der Lösungen in Abhängigkeit vom Parameter

hast du in keiner Weise berücksichtigt, und die Darstellungsform deiner 4 Lösungen (wenn sie überhaupt in dieser Anzahl existieren) ist nicht hilfreich.


Lies diese Lösung vom 11. Oktober 2013 und lerne:

x1=√z1=√k2=k

x2=-√z1= - √k2= - k

x3= √ z2 = √ -3k

x4 = -√ z2 = - √ - 3k
√k2=k

Das ist auch nicht ganz korrekt.

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