Question

Quadratische Gleichung in Abhängigkeit eines Parameters. Lösungsmenge und Wertebereiche für Parameter angeben !

x²-(1/k)*x+k*x-1=0   ;     k≠0

Comments

Ja ... und ?

Lösungsformel schon mal probiert ?

Was tut sich unter der Wurzel ?

---

Wenn ich alles in die Mitternachtsformel einsetze, dann komm ich auf folgendes:

(1+k2)/2k ± 1/2 √((1+6k²+k⁴)/k²)

---

$$ x^2-(1/k)*x+k*x-1=0 $$
$$ x^2+(k-\frac1k) \cdot x-1=0 $$
$$ x^2+\frac{k^2-1}{k} \cdot x -1=0 $$

wie sieht nun der Term unter der Wurzel aus ?

Answer 1

\(x^2-(\frac{1}{k}) \cdot x+k \cdot x-1=0\)

\(x^2+k \cdot x-(\frac{1}{k}) \cdot x=1\)

\(x^2+(k-\frac{1}{k}  )\cdot x=1\)

Quadratische Ergänzung:

\(x^2+(\frac{k^2-1}{k})\cdot x+(\frac{k^2-1}{2k})^2=1+(\frac{k^2-1}{2k})^2\)

1.Binom:

\((x+\frac{k^2-1}{2k})^2=\frac{(k^2+1)^2}{4k^2}  |±\sqrt{~~}\)

\(1.)\)

\(x+\frac{k^2-1}{2k}=\frac{k^2+1}{2k} \)

\(x_1=-\frac{k^2-1}{2k}+\frac{k^2+1}{2k}=\frac{1-k^2}{2k}+\frac{k^2+1}{2k}=\frac{1}{k} \)

\(2.)\)

\(x+\frac{k^2-1}{2k}=-\frac{k^2+1}{2k} \)

\(x_2=\frac{1-k^2}{2k}-\frac{k^2+1}{2k}=-k \)

Answer 2

x^2 - 1/k·x + k·x - 1 = 0

x^2 + (k^2 - 1)/k·x - 1 = 0

p = (k^2 - 1)/k

q = -1

Lösen mit pq-Formel

x = - (k^2 - 1)/(2·k) ± √(((k^2 - 1)/(2·k))^2 + 1) = - (k^2 - 1)/(2·k) ± (k^2 + 1)/(2·k)

x1 = 1/k

x2 = -k

Mit dem Satz von Vieta geht es etwas schneller, ich weiß aber nicht ob du den kannst.