Zeigen Sie, dass die Zufallsvariablen unabhängig sind.

Question

Es seien X und Y unabhängige geometrisch verteilte Zufallsvariablen mit Parameter
p. Zeigen Sie, dass die Zufallsvariablen min(X, Y ) und X − Y unabhägig sind.

Answer 1

Hallo,

es ist \( F_X(z) = P( X \leq z) = 1 - (1-p)^z \) und \( F_Y(z) = F_X(z) \), daher schreiben wir einfach \( F(z) = F_Y(z) = F_X(z)\).

Für \( M = \min(X, Y) \) ist

\( F_M(z) = P(M \leq z) \)
\( = P(\min(X, Y) \leq z) \)
\( = P(X \leq z \lor Y \leq z) \)
\( = 1 - P(X > z \land Y > z) \)
\( = 1 - P(X > z)P(Y > z) \)
\( = 1 - (1 - P(X \leq z))(1 - P(Y \leq z)) \)
\( = 1 - (1 - F(z))^2 \)
\( = 2F(z) - F^2(z) \).

Für \( D = X - Y \) ist außerdem

\( F_{M, D}(z) = P(M \leq z \land D \leq z) \)
\( = P(\min(X, Y) \leq z \land X - Y \leq z) \)
\( = P((X \leq z \lor Y \leq z) \land X - Y \leq z) \)
\( = P((X \leq z \land X - Y \leq z) \lor (Y \leq z \land X \leq z + Y)) \)
\( = P(X \leq z \lor X \leq 2z) \)
\( = P(X \leq 2z) \)
\( = F(2 z) \)
\( = 1 - (1-p)^{2z} \)
\( = (1 - (1-p)^{z})(1 + (1-p)^{z}) \)
\( = F(z) (2 - F(z)) \)
\( = 2F(z) - F^2(z) = F_M(z) \).

Damit ist \( P(M|D) = F_{M, D} = F_M = P(M) \) und die Zufallsvariablen \( M = \min(X, Y) \) und \( D = X - Y \) sind unabhängig.

Grüße

Mister