Zeigen Sie, dass die Ziehungen Xn nicht unabhängig sind aber identisch verteilt sind.

Question

Aufgabe \( 2(6 \text { Punkte }): \) Wird \( N \) -mal aus einer Urne mit \( R \) roten und \( S \) schwarzen Kugeln ohne Zurücklegen gezogen, so sei
\( X_{n}=1 \cong \) in der \( n \) -ten Ziehung wurde eine rote Kugel gezogen,
\( X_{n}=0 \cong \) in der \( n \) -ten Ziehung wurde eine schwarze Kugel gezogen,
$$ n=1, \dots, N $$

Zeigen Sie, dass die Ziehungen \( X_{n} \) nicht unabhängig sind aber identisch verteilt sind. Zeigen Sie auch, dass das gleiche für die Zufallsvektoren \( \left(X_{n}, X_{n+1}\right), n=1, \ldots, N-1, \) gilt.

Wie zeige ich das?

Answer 1

Hallo,

es ist zunächst \( P(X_1 = 1) = \frac{R}{R+S} \) und \( P(X_1 = 0) = \frac{S}{R+S} \).

Es gilt folglich

\( P(X_2 = 1) = \frac{R-1}{R+S-1} P(X_1 = 1) + \frac{R}{R+S-1} P(X_1 = 0) \)
\( = \frac{(R-1)R + RS}{(R+S-1)(R+S)} \)
\( = \frac{(R+S-1)R}{(R+S-1)(R+S)} \)
\( = \frac{R}{R+S} = P(X_1 = 1) \).

Damit ist auch \( P(X_2 = 0) = P(X_1 = 0) \). Der Induktionsschritt funktioniert analog, wenn man annimmt, dass \( R_n \) die verbliebene Anzahl der roten Kugeln und \( S_n \) die verbliebene Anzahl der schwarzen Kugeln bei der \( n \)-ten Ziehung ist. (Es ist \( R_1 = R \) und \( S_1 = S \).)

Da die Wahrscheinlichkeit für \( X_n \) von den Ausgängen der \( X_1, \dots, X_{n-1} \) abhängt, ist \( X_n \) nicht unabhänig von \( X_1, \dots, X_{n-1} \).

Die Abhängigkeit der Zufallsvektoren \( (X_n, X_{n+1}) \) ist auf gleiche Weise schnell begründet. Dass die Zufallsvektoren identisch verteilt sind, ergibt sich aus der identischen Verteilung der Komponenten \( X_n \) und \( X_{n+1} \).

Grüße

Mister