Zufallsvariable finden, so dass X,Y unkorreliert, aber nicht unabhängig

Question

Aufgabe:

Es sei \(\Omega = [0,1]\) eine Gleichverteilung. Die Zufallsvariable \(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}\) ist gegeben durch \(X(\omega) = \omega - 0.5\). Finden Sie eine Zufallsvariable \(Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R}\), so dass \(X,Y\) unkorreliert, aber nicht unabhängig sind.

Ansatz:

Unkorreliert sind sie ja, falls \(Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)\) = 0 ist. Unabhängig falls für die Dichtefunktion \(f\) gilt:

\(f(x,y)=f_{X}(x)*f_{Y}(y)\). Wie kombiniere ich beide?

Answer 1

Die ZV \(X\) ist offensichtlich gleichverteilt auf \([-0{,}5;0{,}5]\). Wegen der Symmetrie um 0 ist \(E[X]=0\). Wähle nun \(Y=X^2\). Die Abhängigkeit ist offensichtlich und es gilt \(\mathrm{Cov}(X,X^2)=E[X^3]-E[X]E[X^2]=0-0\cdot 0=0\), also Unkorreliertheit.