Zeige, dass X und Y := ZX zwar unkorreliert, jedoch nicht unabhängig sind.

Question

Aufgabe:

Sei eine X und Z unabhängig, X standardnormalverteilt und Z gleichverteilt auf {−1, 1}. Zeigen
Sie, dass X und Y := ZX zwar unkorreliert, jedoch nicht unabhängig sind.

Problem/Ansatz:

Ich bin für jede Hilfe/Lösung sehr dankbar!<3

Comments

Zur Sicherheit die Frage: Ist Z gleichverteilt auf der Menge mit den 2 Punkten -1 und 1 oder auf dem Intervall [-1,1]?

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Hmm... sehr gute Frage. Da es auf dem Aufgabenblatt genau so formuliert ist und meine Professorin für Intarvalle üblicherweise die eckigen Klammern nutzt, gehe ich hier mal davon aus, dass tatsächlich die Punkte -1 und 1 gemeint sind.

Answer 1

Dass \(X\) und \(Y\) abhängig sind, sieht man sofort, weil \(Y=ZX\) von \(X\) abhängt.

Es gilt \(E[X]=0\), da standardnormalverteilt. Außerdem ist \(Z\) auf der Menge \(\{-1,1\}\) gleichverteilt, das heißt \(E[Z]=\frac{1}{2}\cdot (-1)+\frac{1}{2}\cdot 1 =0\). Dann ist aber \(E[X]E[Z]=0\).

Zu zeigen bleibt für Unkorreliertheit, dass \(E[XY]=0\). Das folgt aber aus der Unabhängigkeit von \(X\) und \(Z\), denn \(E[XY]=E[XZX]=E[X^2Z]=E[X^2]E[Z]=0\).