Zeige, dass diese Ereignisse zwar paarweise stochastisch unabhängig sind, aber nicht ihrer Gesamtheit

Question

Aufgabe:

Ein roter und ein schwarzer Würfel werden je einmal unabhängig voneinander gewürfelt. Nun interessieren wir uns für die folgenden Ereignisse
- \( R U= \) „Mit dem roten Würfel wurde eine ungerade Augenzahl gewürfelt "
- \( S G= \) „Mit dem schwarzen Würfel wurde eine gerade Zahl gewürfelt،"
- \( A= \) „Die Summe der beiden Augenzahlen des roten und des schwarzen Würfels ist ungerade".

Zeige, dass diese Ereignisse zwar paarweise stochastisch unabhängig, jedoch nicht stochastisch unabhängig in ihrer Gesamtheit sind.

Problem/Ansatz:

Mengenschreibweise der Ergebnisse:

RU = {(i;j): i ∈ {1,3,5}, j ∈ {1,2,3,4,5,6}}

SG = {(i;j): i ∈ {2,4,6}, j ∈ {1,2,3,4,5,6}}

A = {(i;j): i,j ∈ {1,2,3,4,5,6} und i+j ∈{3,5,7,9,11}}

Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse sind hier alle gleich:

P(RU) = P(SG) =P(A)= 1/2

Wie bestimmt man nun die Wahrscheinlichkeiten der Schnittmengen, d.h. was ist P(RU ∩ SG), P(RU ∩ A), P(SG ∩ A) und P(RU ∩ SG ∩ A) ?

Von der Idee sollte gelten:

P(RU ∩ SG) = 1/4 = P(RU)·P(SG)
P(RU ∩ A) = 1/4 = P(RU)·P(A)
P(SG ∩ A) = 1/4 = P(SG)·P(A) → Die Ereignisse sind paarweise stochastisch unabhängig.

P(RU ∩ SG ∩ A) = 1/4 ≠ 1/8 = P(RU)·P(SG)·P(A) → Alle Ereignisse zusammen sind stochastisch abhängig.

Passt das von den Wahrscheinlichkeiten?

Answer 1

RU = {(i;j): i ∈ {1,3,5}, j ∈ {1,2,3,4,5,6}}

Der erste Würfel zeigt 1, 3 oder 5.

SG = {(i;j): i ∈ {2,4,6}, j ∈ {1,2,3,4,5,6}}

Der erste Würfel zeigt 2, 4 oder 6.

Welche Frabe hat der erste Würfel? Ist er rot oder schwarz?

Wie bestimmt man nun die Wahrscheinlichkeiten der Schnittmengen,

Zähle die Ergebnisse von RU und SG explizit auf. Dann siehst du, welche Ergebnisse zu beiden Ereignissen gehören. Diese Ergebnisse gehören zur Schnittmenge.

Comments

Also wenn ich das z.B. für RU ∩ SG machen würde, wäre es eigentlich disjunkt, also die Wahrsch. wäre 0, aber das wäre komisch zur Aufgabenstellung, da man zeigen soll, dass die Ereignisse paarweise verschieden sind.

Deshalb müsste man sich das wie bei einem Baumdiagramm anschauen und dort wäre dann P(RU ∩ SG) = 1/4 = P(RU)·P(SG).

Aber geht das nicht auch analog für die anderen Schnittmengen? Macht meine Idee oben Sinn?