Sind die Würfel Ereignisse stochastisch unabhängig voneinander?

Question

Aufgabe:

Ein fairer Würfel wird dreimal hintereinander geworfen. Gegeben seien die Ereignisse:
• A: ”Das Produkt der gewürfelten Augenzahlen ist 15.” 
• B: ”Die Augensumme der ersten beiden Würfe ist gerade.” 
• C: ”Die Augensumme aller drei Würfe ist ungerade.” 
Untersuchen Sie, ob folgende Ereignisse stochastisch unabhängig sind:
1. B und C,
2. A und B ∩ C,
3. A ∪ B und B ∪ C.

Problem/Ansatz:

Hallo! Wie kann man hier an diese Aufgabe herangehen und lösen? Ereignisse sind stochastisch unabhängig wenn P(A∩B) = P(A) * P(B) gilt. Ich habe aber Probleme, die obigen Ereignisse zusammenzufassen.

Vielen Dank!

Comments

Ich habe aber Probleme, die obigen Ereignisse zusammenzufassen.

Ich glaube nicht, dass DAS das Problem ist.

Ich sehe an deiner Frage nicht, dass du überhaupt schon mal (zumindest) die Ergebnisse P(A), P(B) und P(C) hast.

Oder hast du nur vergessen, sie anzugeben?

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A: 15= 1*3*5 (6 Reihenfolgen)

P(A) = 6/6^3 = 1/36

Answer 1

Was meinst du denn mit zusammenfassen?

Für \(B\) gilt zum Beispiel: Die Augensumme der ersten beiden Würfe ist gerade. Das ist genau dann der Fall, wenn entweder beide Würfe ungerade oder beide Würfe gerade sind. Beide Fälle treten jeweils mit der Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{4}\) auf, so dass \(P(B)=\frac{1}{2}\). Der dritte Würfel ist egal. Für \(B\cap C\) muss die Summe aller drei Würfe ungerade sein und die der ersten beiden Würfe gerade, da \(B\) ebenfalls erfüllt sein muss. Folglich muss der dritte Wurf ungerade sein. Auch das tritt mit der Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{2}\) auf. Für \(B\cap C\) gilt dann gerade, gerade, ungerade oder ungerade, ungerade, ungerade. Beide Varianten treten mit der Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{8}\) auf, so dass \(P(B\cap C)=\frac{1}{4}\) gilt.

Bekommst du die weiteren Überlegungen alleine hin?