Aufgabe \( 2(6 \text { Punkte }): \) Wird \( N \) -mal aus einer Urne mit \( R \) roten und \( S \) schwarzen Kugeln ohne Zurücklegen gezogen, so sei
\( X_{n}=1 \cong \) in der \( n \) -ten Ziehung wurde eine rote Kugel gezogen,
\( X_{n}=0 \cong \) in der \( n \) -ten Ziehung wurde eine schwarze Kugel gezogen,
$$ n=1, \dots, N $$
Zeigen Sie, dass die Ziehungen \( X_{n} \) nicht unabhängig sind aber identisch verteilt sind. Zeigen Sie auch, dass das gleiche für die Zufallsvektoren \( \left(X_{n}, X_{n+1}\right), n=1, \ldots, N-1, \) gilt.
Aufgabe \( 3^{*} \) (Fortsetzung von Aufgabe 2) \( (6 \text { Punkte }): \) Zeigen Sie für die Zufallsgrößen aus Aufgabe 2:
$$ \begin{aligned} \operatorname{cov}\left(X_{n}, X_{n-1}\right) &=-\frac{R \cdot S}{(R+S)^{2}(R+S-1)}<0,(3 \mathrm{P.}) \\ \rho\left(X_{n}, X_{n-1}\right) &=-\frac{1}{R+S-1},(3 \mathrm{P} .) \\ \operatorname{Var}\left(\sum \limits_{n=1}^{N} X_{n}\right) &=\frac{R+S-N}{R+S-1} N \frac{R}{R+S} \frac{S}{R+S} \cdot(3 \mathrm{P.}) \end{aligned} $$
Also, es geht hier um Aufgabe 3. Ich weiß leider überhaupt nicht wie ich an die Sache ran gehen soll.
