Grenzwert und konvergenz(überprüfen) bestimmen?

Question

Grenzwert bestimmen

Untersuchen Sie die Folge (an) n € N jeweils auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.

a) an= n sin (pi*n) + (pi *n ) / (n²)

b) an= (2*(-1)^(n)- n.te Wurzel (2) *n ) / (n)

c) an= (4sin(pi* n³))/(2n+7)

d) an= 5^(-n)Re((1+i)^(4n))

könnt ihr mir bitte hier weiter helfen?

Vielen Dank

mein versuch

bei a) das n*sin (n) gegen eins geht, und der bruch gegen unendlich also 0 ?

bei b)  gegen -1 ? bin aber sehr unsicher

bei c) gegen 0 da der nenner viel stärker ist ?

bei d) keine ahnung wie ich vorgehen soll

Comments

$$\text{a) } a_n = \dfrac{n \cdot \sin(\pi\cdot n) + (\pi\cdot n )} {n^2}$$

mein versuch
bei a) das n*sin (n) gegen eins geht, und der bruch gegen unendlich also 0 ?

Meine Interpretation zu a) und dein Versuch passen irgendwie nicht zusammen. Überprüfe mal die Angaben! So, wie ich die Folge notiert habe, ist der erste Summand im Zähler ständig 0, die Folge ist dann identisch zu der Nullfolge pi/n.

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Ich hab mich dann im zähler vertan, aber da am ende eh 1/n ist, ist ja das ergebnis auch gleich 0.

Kannst du mir bitte uuden aufgaben, die rechenschritte zeigen?

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Wie lautet denn der Zähler richtig?

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So wie du es geschrieben hast, ist schon richtig :)

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Ok, dann ist $$\text{a) } \lim\limits_{n\to\infty} a_n = \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{n \cdot \sin(\pi\cdot n) + \pi\cdot n } {n^2} = \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{0+\pi\cdot n} {n^2} = \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{\pi} {n} = 0$$

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Danke :)

Weisst du vielleicht such wie der rest geht?^^

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$$\text{c) } \lim\limits_{n\to\infty} a_n = \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{4\cdot\sin(\pi\cdot n^3)}{2n+7} = \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{4\cdot 0}{2n+7} = 0$$Der Zähler ist 0, der Nenner unbeschränkt, also ist der Grenzwert 0.

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$$\text{d) } a_n = 5^{-n}\cdot\operatorname{Re}\left((1+i)^{4n}\right) = \dots$$Der zweite Faktor kann erheblich vereinfacht werden.

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Meinst du mit

1^(4n)??

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Ich meine \((1+i)^4\).

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Hm aber Re ist doch real teil

Also dachte ich, ich nehme nur diesen anteil?^^

Wie geht man dann fort?

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Ja, aber der von dir vorgenommenen und von mir übernommenen Klammerung wird auf den Realteil der gesamten Potenz zugegriffen.

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Aber warum verschwindet hier nur beim exponenten nur der n teil?

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Der verschwindet nicht, ich habe ihn nur weggelassen. Die Rechnung (nach der Regel für das Potenzieren von Potenzen) ist diese:

$$\left(1+i\right)^{4n}=\left(\left(1+i\right)^4\right)^n=\dots$$

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Ich bin einwenig verwirrt

Diese regel ist mir durchaus bekannt :)

Anders gefragt wie sollte diebvereinfschung aussehen?

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Rechne doch mal \((1+i)^4\) aus.

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Ist -4 das richtige ergebenis?

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Ja, und das ist reell und damit ist auch \((-4)^n\) reell.

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Ok vielen Dank

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Wie geht die b noch?

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b)

Konvergiert gegen 0, da 2·(-1)ⁿ beschränkt ist und \( \sqrt[n]{2n} \) konvergiert gegen 0, dh der Zähler ist beschränkt und der Nenner geht gegen unendlich, dh konvergiert das ganze gegen 0.

kleiner Tipp, wenn du dir mal nicht sicher bist, kannst du dir die Folge bei Geogebra anzeigen lassen, dann siehst du schnell ob deine Konvergenz-Vermutungen richtig sind.

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Oben steht \(\sqrt[n\,]{2}\cdot n\).

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vielen Dank

aber ja das n steht ausserhalb von der wurzel

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Oh sorry da hab ich mich wohl verlesen. In diesem Fall hast du Recht, dann konvergiert die Reihe gegen -1...

Bruch auseinanderziehen:

(2* (-1)ⁿ)/n geht gegen 0 und bei (\( \sqrt[n]{2} \)*n)/n kürzt man das n und es bleibt -\( \sqrt[n]{2} \) steht und das konvergiert gegen -1.

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Im moment habe ich grad mehr problemr mit den taylor aufgaben ;)