Bestimmen sie die Spurpunkte einer Ebene

Question

Aufgabe:

Bestimmen sie die Spurpunkte einer Ebene

E:x= \( \begin{pmatrix} 0\\3\\0 \end{pmatrix} \) +r • \( \begin{pmatrix} 0\\3\\4 \end{pmatrix} \) +t •\( \begin{pmatrix} 2\\-1\\0 \end{pmatrix} \)
Problem/Ansatz:

Ich habe schon das Gleichungsystem aufgestellt:

S1= 0+0r+2t

0  = 3+3r-1t

0 = 0+4r+0t

Ich komme jetzt aber nicht auf die einzelnen Spurpunkte.

Answer 1

Aloha :)

Am einfachsten kreigst du die Spurpunkte, wenn du die Ebenengleichung in die Koordinatenform überführst:

$$\vec n=\begin{pmatrix}0\\3\\4\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0-(-4)\\8-0\\0-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\8\\-6\end{pmatrix}$$$$\vec n\cdot\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\8\\-6\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}=24$$Die Ebenengleichung in Koordinatenform lautet also:$$E:\;4x+8y-6z=24$$Das kann man noch umstellen (erleichtert die folgende Ermittlung der Spurpunkte):$$E:\;\frac{x}{6}+\frac{y}{3}-\frac{z}{4}=1$$

Jetzt setzt du einfach immer 2 der Koordinaten gleich Null und rechnest die dritte aus. Das führt auf folgende Spurpunkte:$$S_x\left(6\;;\;0\;;\;0\right)\quad;\quad S_y\left(0\;;\;3\;;\;0\right)\quad;\quad S_z\left(0\;;\;0\;;\;-4\right)$$