Vollständige Induktion, Problem beim Induktionsbeweis

Question

Aufgabe:

beweisen Sie unter Verwendung der vollständigen Induktion, dass ∀n ∈ N: 7 | n7 − n. Notieren Sie die Schritte: Induktionsanfang, -voraussetzung, -behauptung sowie den -beweis.

Problem/Ansatz:

ich vermute, dass mein Induktionsbeweis falsch ist:

7/(n+1)⁷-(n+1)

7(n⁷+7n⁶+21n⁵+35n⁴+35n³+21n2+7n¹) : -n-1

Answer 1

Hallo Lena,

ich vermute, dass mein Induktionsbeweis falsch ist:

das ist kein Beweis, da weder eine Folgerung, noch ein Gleichheitszeichen zu erkennen ist ;-)

Vorschlag:

Induktionsanfang mit \(n=0\)$$ 7 |\, 0^7 - 0 = 0 \space \checkmark$$Voraussetzung: \(7 |\, n^7 - n\) für \(n=0\).

Induktionsbehauptung: \(7|\, (n+1)^7 - (n+1)\)

Induktionsschritt mit Übergang von \(n\) nach \(n+1\):$$\begin{aligned} (n+1)^7 - (n+1) &= \sum_{k=0}^7 { 7 \choose k} n^k - n - 1 \\ &= n^7 + 1 + \sum_{k=1}^6 { 7 \choose k}n^k - n - 1 \\ &= n^7 - n + 7(n + 3n^2 + 5n^3 + 5n^4 + 3n^5 + n^6) \\ &= n^7 - n + 7 \cdot a_n, \quad a_n \in \mathbb N_0\end{aligned}$$Lt. Voraussetzung teilt \(7|\, n^7-n\), daraus folgt: \(7|\, n^7-n + 7a_n = (n+1)^7 - (n+1)\), was zu beweisen war (s. Behauptung).

Answer 2

Vermutlich soll 7 | n⁷ − n bewiesen werden.

Induktionsanfang: 27-2=126 und 126=7·18.

Induktionsvoraussetzung; 7 | n⁷ − n.

Induktionsbehauptung 7 | (n+1)⁷ − (n+1).

Stattdessen kann man n⁷ − n zuerst in Faktoren zu zerlegen (Ausklammern und dritte binomische Formel ergibt):

n⁷ − n=n(n³-1)(n³+1)

und jetzt zu beweisen, dass genau einer der drei Faktoren durch 7 teilbar sein muss.

Comments

Einfacher ist es aber, n⁷ − n zuerst in Faktoren zu zerlegen

ist nicht einfacher, da anschließend zwei Beweise nötig sind:$$ (n \equiv 1) \lor (n \equiv 2) \lor (n \equiv 4) \mod 7 \Rightarrow 7| \, n^3 - 1 \\ (n \equiv 3) \lor (n \equiv 5) \lor (n \equiv 6) \mod 7 \Rightarrow 7| \, n^3 + 1 \\ n \equiv 0 \mod 7 \Rightarrow 7|\, n$$

---

Hab nochmal etwas nachgebessert.