Hallo Lena,
ich vermute, dass mein Induktionsbeweis falsch ist:
das ist kein Beweis, da weder eine Folgerung, noch ein Gleichheitszeichen zu erkennen ist ;-)
Vorschlag:
Induktionsanfang mit \(n=0\)$$ 7 |\, 0^7 - 0 = 0 \space \checkmark$$Voraussetzung: \(7 |\, n^7 - n\) für \(n=0\).
Induktionsbehauptung: \(7|\, (n+1)^7 - (n+1)\)
Induktionsschritt mit Übergang von \(n\) nach \(n+1\):$$\begin{aligned} (n+1)^7 - (n+1) &= \sum_{k=0}^7 { 7 \choose k} n^k - n - 1 \\ &= n^7 + 1 + \sum_{k=1}^6 { 7 \choose k}n^k - n - 1 \\ &= n^7 - n + 7(n + 3n^2 + 5n^3 + 5n^4 + 3n^5 + n^6) \\ &= n^7 - n + 7 \cdot a_n, \quad a_n \in \mathbb N_0\end{aligned}$$Lt. Voraussetzung teilt \(7|\, n^7-n\), daraus folgt: \(7|\, n^7-n + 7a_n = (n+1)^7 - (n+1)\), was zu beweisen war (s. Behauptung).