Spurpunkte einer Ebene in Parameterform bestimmen

Question

Gibt es einen Weg, Spurpunkte einer Ebene in Parametergleichung zu bestimmen? Ich meine, klar kann ich sie per Kreuzprodukt umrechnen in Koordinatenform, und dann die Spurpunkte bestimmen, aber kann ich das auch in der Parameterform machen? Also vielleicht als LGS?

Wenn also z.B.: E: X= (1/5/8) + s (2/-3/6) + t (1/2/3), dann für den S₁ ausrechnen, indem ich x₂ und x₃ null setzte, daraus ein LGS bilde und dann für x₁ einsetzte?

Also x₂=0, daher 5-3s+2t=0

x₃=0, daher 6+5s+3t=0

dann damit s und t bestimmen (s= -1/3 und t= -2) und das dann für x₁ einsetzten?

--> x₁= 1+ (-1/3)*2 +(-2)*1 = -5/3 ?

Geht das grundsättzlich, oder ist das mathemathsicher Unsinn, und die Überlegeung völlig daneben?

Danke schonmal :-)

Answer 1

Ja das geht natürlich prinzipiell aber du möchtest ja alle Spurpunkte haben und das ist natürlich mit gleichungssystemen viel aufwendiger

E: X = [1, 5, 8] + s·[2, -3, 6] + t·[1, 2, 3]

n = [2, -3, 6] ⨯ [1, 2, 3] = [-21, 0, 7] = - 7·[3, 0, -1]

E: X·[3, 0, -1] = [1, 5, 8]·[3, 0, -1]

E: 3·x - z = -5

Hier kann man jetzt sehen, dass die Ebene parallel zur y-Achse verläuft und beide Achsenabschnitte leicht ablesen.

Ein anderer Weg geht über die Gleichungen

[1, 5, 8] + s·[2, -3, 6] + t·[1, 2, 3] = [x, 0, 0] --> x = - 5/3 ∧ t = - 18/7 ∧ s = - 1/21

[1, 5, 8] + s·[2, -3, 6] + t·[1, 2, 3] = [0, y, 0] --> keine Lösung

[1, 5, 8] + s·[2, -3, 6] + t·[1, 2, 3] = [0, 0, z] --> z = 5 ∧ s = 3/7 ∧ t = - 13/7

Ersterer Weg ist wie du siehst deutlich einfacher. Also es gibt keinen Grund es über Gleichungssysteme zu lösen, obwohl es natürlich möglich wäre.

Comments

Danke für deine ausführliche Darstellung :-)

Mir ist schon klar, dass es über umrechnen der Ebene in Koordinatengleichung wesentlich schneller geht, und meist vermutlich sinnvoller ist.

Mich hat interessiert, ob die Überlegung grundsätzlich richtig ist, ich hatte da mal mit anderen drüber diskutiert, ob das überhaupt machbar wäre, oder ob ich immer umrechnen muss, und wenn ja wie genau, und wir waren uns einfach nicht sicher.

Also, vielen Dank nochmal!

Answer 2

falls du die Durchstoßpunkte der Achsen mit der Ebene meinst, dann ist dein Ansatz richtig 2 Koordinaten 0 zu setzen und das Gleichungsystem zu lösen.