Parameterform in Koordinatenform (Ebene) X = (2|1|3)+s·(-3|-5|-3)+t·(6|-2|0)

Question

Also ich habe folgende Aufgabe:
Bestimme die Koordinatenform der Gleichung:
          2         -3          6
g:x = (1) + s(-5) + t(-2)
          3         -3          0

soweit bin ich schon:

(1 0 0 | 2 3 3 )
(0 1 0 | 1 5 -7)
( 0 0 1 | 3 3 -3)

Was genau haben wir da in der Schule gemacht?? woher kommt der linke Teil und wie rechne ich weiter damit?
das ären meine Fragen ich würde mich meeegaaa freuen wenn mir jemand helfen würde.

Answer 1

Hi swezdotschka,

ich versuche mich mal ;).

Du hast doch die Ebene gegeben mit

$$\vec x = \begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}-3\\-5\\-3\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}6\\-2\\0\end{pmatrix}$$

Dann ergibt sich doch folgendes Gleichungssystem (mit \(\vec x = \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\)):

$$\begin{vmatrix}x = 2-3s+6t\\y = 1-5s-2t\\z = 3-3s\end{vmatrix}$$

Das LGS kann man jetzt auch sauber aufschreiben:

$$\begin{vmatrix}-3s+6t &-x & & & = -2\\-5s-2t & & -y& &=-1\\-3s+0t &&&-z&=-3\end{vmatrix}$$

Das ist jetzt so geschrieben, dass Du es in den GTR eintippen kannst. Dieser wirft dann aus:

$$\begin{vmatrix}1 &0&0&0 &\frac13 &1 \\0&1&0 &-\frac12 & -\frac56& -2\\0&0&1&3&-6&-13\end{vmatrix}$$

Das muss nun interpretiert werden -> Die letzte Zeile gibt Dir die Ebene in Koordinatenform an:

$$x + 3y - 6z = -13$$

Grüße

Comments

Die Ergebnisse seien mit dem Programm Ebenengleichungen umformen bestätigt: 

Ergebnisse:

Punkte: A(2|1|3) B(-1|-4|0) C(8|-1|3)

Koordinatenform: E: -6·x + (-18)·y + 36·z = 78

Parameterform: E: (x|y|z) = (2|1|3) + s·(-3|-5|-3) + t·(6|-2|0)

Normalenform: E: [(x|y|z) - (2|1|3)] o (-6|-18|36) = 0

Spurpunkte: S_x(-13|0|0) S_y(0|-4,33333|0) S_z(0|0|2,16667)

Hinweis zur Koordinatenform: 

Koordinatenform: E: -6·x + (-18)·y + 36·z = 78  | :(-6)

E: x + 3y - 6z = -13

Answer 2

Bei eurem ersten Schritt verstehe ich zumindest die Vorzeichen schon mal nicht. Daher eine Alternative, die du bitte selbst nach Rechenfehlern überprüfst.

.         2       -3 .    6
g:x=(1)+s(-5)+t(-2)
.         3        -3      0

x = 2 - 3s + 6t          (I)

y = 1 - 5s  - 2t        (II)

z = 3 - 3s            ------> 3s = 3-z in (I) 

x = 2 - 3 + z + 6t

1 + x - z = 6t         . In (II) 

y = 1 - 5(3-z)/3 - 2(1+x-z)/6        

y = 1 - (15 - 5z)/3 - (1+x-z) / 3        | * 3

3y = 3 - (15 - 5z) - (1+x-z) 

3y = 3 - 15  + 5z - 1 -x +z

x + 3y - 6z + 13 = 0

Bitte selbst nachrechnen und gegebenenfalls korrigieren.