Varianz und Kovarianz (X1,X2)

Question

Aufgabe:

Sei Z~ N(0,1) und X = (X1,X2)' gegeben durch:

X1 = 1+2Z

X2= 3Z

Dann gilt

     Var(X1)= 4,    Var(X2)=9

und

Cov(X1,X2)= Cov (1+2Z, 3Z) = 6

Problem/Ansatz:

wie wurden die Varianzen und die Kovarianz berechnet?

!

Answer 1

Aloha :)

Für die Varianz gibt es 2 handliche Formeln, mit denen man sehr weit kommt:$$(1)\quad \text{Var}\,(aX+b)=a^2\cdot\text{Var}\,(X)\quad;\quad a,b\in\mathbb{R}\quad;\quad X= \text{ Zufallsvariable}$$$$(2)\quad \text{Var}\,(X+Y)=\text{Var}\,(X)+\text{Var}\,(Y)+2\cdot\text{Cov}\,(X,Y)\quad;\quad X,Y= \text{ Zufallsvariable}$$Beide Formeln kannst du mit Hilfe der Linearität des Erwartungswertes, den wir im Folgenden durch spitze Klammern $\left<\cdots\right>$ symbolisieren, schnell beweisen:

$$\text{Var}\,(aX+b)=\left<\left[(aX+b)-\left<aX+b\right>\right]^2\right>=\left<\left[(aX+b)-(a\left<X\right>+b)\right]^2\right>$$$$\quad=\left<\left[aX+b-a\left<X\right>-b)\right]^2\right>=\left<\left[aX-a\left<X\right>)\right]^2\right>=\left<a^2\left(X-\left<X\right>\right)^2\right>$$$$\quad=a^2\left<\left(X-\left<X\right>\right)^2\right>=a^2\cdot\text{Var}\,(X)$$$$\text{Var}\,(X+Y)=\left<\left[(X+Y)-\left<X+Y\right>\right]^2\right>=\left<\left[(X-\left<X\right>)+(Y-\left<Y\right>)\right]^2\right>$$$$\quad=\left<\left(x-\left<X\right>\right)^2+\left(Y-\left<Y\right>\right)^2+2\left(X-\left<X\right>\right)\left(Y-\left<Y\right>\right)\right>$$$$\quad=\left<\left(x-\left<X\right>\right)^2\right>+\left<\left(Y-\left<Y\right>\right)^2\right>+2\left<\,\left(X-\left<X\right>\right)\left(Y-\left<Y\right>\right)\,\right>$$$$\quad=\text{Var}\,(X)+\text{Var}\,(Y)+2\cdot\text{Cov}\,(X,Y)$$

Zur Aufgabe:

Die Zufallsvariable $Z$ ist standard-normalverteilt, d.h. $\text{Var}\,(Z)=1$, daher gilt:

$$(1)\;\text{Var}\,(X_1)=\text{Var}\,(2Z+1)=2^2\cdot\text{Var}\,(Z)=4$$$$(1)\;\text{Var}\,(X_2)=\text{Var}\,(3Z)=3^2\cdot\text{Var}\,(Z)=9$$

$$(1)\;\text{Var}\,(X_1+X_2)=\text{Var}\,(2Z+1+3Z)=\text{Var}\,(5Z+1)=5^2\cdot\text{Var}\,(Z)=25$$$$(2)\;\underbrace{\text{Var}\,(X_1+X_2)}_{=25}=\underbrace{\text{Var}\,(X_1)}_{=4}+\underbrace{\text{Var}\,(X_2)}_{=9}+2\cdot\text{Cov}\,(X_1,X_2)$$$$\Rightarrow\quad 2\cdot\text{Cov}\,(X_1,X_2)=12$$$$\Rightarrow\quad \text{Cov}\,(X_1,X_2)=6$$

Comments

Danke für die großartige Hilfe!

Answer 2

$$\text{Var}(X_1) = \text{E} \left[ (1+2Z)^2 \right] - \left[ \text{E} (1+2Z) \right]^2 = \text{E}(1) + \text{E}(4Z) + \text{E}(4Z^2) - \left( \text{E}(1) + \text{E}(2Z) \right)^2 = \\ 1+0+4-((1+0)^2 = 4$$

Das andere geht genauso.

Comments

Hi,

vielen Dank für die Zeit und die Antwort.

Ich habe versucht E(4Z²) zu berechnen und ich hatte die Antwort 1.

kann ich fragen wie hast du E(4Z²) = 4?

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$$\text{E}(4 Z^2) = 4 \text{E}(Z^2) = 4$$ weil ja $Z \sim N(0,1)$ verteilt ist.