Aloha :)
Für die Varianz gibt es 2 handliche Formeln, mit denen man sehr weit kommt:$$(1)\quad \text{Var}\,(aX+b)=a^2\cdot\text{Var}\,(X)\quad;\quad a,b\in\mathbb{R}\quad;\quad X= \text{ Zufallsvariable}$$$$(2)\quad \text{Var}\,(X+Y)=\text{Var}\,(X)+\text{Var}\,(Y)+2\cdot\text{Cov}\,(X,Y)\quad;\quad X,Y= \text{ Zufallsvariable}$$Beide Formeln kannst du mit Hilfe der Linearität des Erwartungswertes, den wir im Folgenden durch spitze Klammern \(\left<\cdots\right>\) symbolisieren, schnell beweisen:
$$\text{Var}\,(aX+b)=\left<\left[(aX+b)-\left<aX+b\right>\right]^2\right>=\left<\left[(aX+b)-(a\left<X\right>+b)\right]^2\right>$$$$\quad=\left<\left[aX+b-a\left<X\right>-b)\right]^2\right>=\left<\left[aX-a\left<X\right>)\right]^2\right>=\left<a^2\left(X-\left<X\right>\right)^2\right>$$$$\quad=a^2\left<\left(X-\left<X\right>\right)^2\right>=a^2\cdot\text{Var}\,(X)$$$$\text{Var}\,(X+Y)=\left<\left[(X+Y)-\left<X+Y\right>\right]^2\right>=\left<\left[(X-\left<X\right>)+(Y-\left<Y\right>)\right]^2\right>$$$$\quad=\left<\left(x-\left<X\right>\right)^2+\left(Y-\left<Y\right>\right)^2+2\left(X-\left<X\right>\right)\left(Y-\left<Y\right>\right)\right>$$$$\quad=\left<\left(x-\left<X\right>\right)^2\right>+\left<\left(Y-\left<Y\right>\right)^2\right>+2\left<\,\left(X-\left<X\right>\right)\left(Y-\left<Y\right>\right)\,\right>$$$$\quad=\text{Var}\,(X)+\text{Var}\,(Y)+2\cdot\text{Cov}\,(X,Y)$$
Zur Aufgabe:
Die Zufallsvariable \(Z\) ist standard-normalverteilt, d.h. \(\text{Var}\,(Z)=1\), daher gilt:
$$(1)\;\text{Var}\,(X_1)=\text{Var}\,(2Z+1)=2^2\cdot\text{Var}\,(Z)=4$$$$(1)\;\text{Var}\,(X_2)=\text{Var}\,(3Z)=3^2\cdot\text{Var}\,(Z)=9$$
$$(1)\;\text{Var}\,(X_1+X_2)=\text{Var}\,(2Z+1+3Z)=\text{Var}\,(5Z+1)=5^2\cdot\text{Var}\,(Z)=25$$$$(2)\;\underbrace{\text{Var}\,(X_1+X_2)}_{=25}=\underbrace{\text{Var}\,(X_1)}_{=4}+\underbrace{\text{Var}\,(X_2)}_{=9}+2\cdot\text{Cov}\,(X_1,X_2)$$$$\Rightarrow\quad 2\cdot\text{Cov}\,(X_1,X_2)=12$$$$\Rightarrow\quad \text{Cov}\,(X_1,X_2)=6$$
