Berechnung von (z1 + z2) * z1/z2
Hallo
Ich bräuchte eine kurze Überprüfung ob meine Lösung stimmt
$$z_{1}=2 \cdot \sqrt{3}+2 i$$
$$z_{2}=2 \cdot[\cos (5 \pi / 2)+i \sin (5 \pi / 3)]$$
Aufgabe: $$\left(z_{1}+z_{2}\right) \cdot \frac{z_{1}}{z_{2}}$$
Lösungsansatz:
$$z_{1}+z_{2}=2 \cdot \sqrt{3}+2 i+2 \cdot\left[\cos \left(\frac{5 \pi}{3}\right)+i \cdot \sin \left(\frac{5 \pi}{3}\right)=\right.$$
$$\begin{array}{l}{=2 \sqrt{3}+2 i+1-\sqrt{3} i=1+2 \sqrt{3}+2 \cdot \sqrt{3} i} \\ {=4,464+0,268i}\end{array}$$
$$\frac{z1}{z2}=\frac{2 \sqrt{3}+2 i}{1-\sqrt{3} i} \cdot \frac{1+\sqrt{3} i}{1+\sqrt{3} i}=$$
$$=\frac{2 \sqrt{3}+6 i+2 i+2 \sqrt{3} i^{2}}{1-3 i^{2}}=\frac{2 \sqrt{3} i^{2}+8 i+2 \sqrt{3}}{1-3 i^{2}}$$
$$\begin{array}{l}{=\frac{2 \sqrt{3} i^{2}+8 i+2 \sqrt{3}}{1+3}=\frac{-2 \sqrt{3}+8 i+3 \sqrt{3}}{4}} \\ {=\frac{8 i}{4}=2 i}\end{array}$$
Daraus folgt:
$$\begin{aligned}\left(z_{1}+z_{2}\right) \cdot \frac{z_{1}}{z_{2}} &=(1+2 \sqrt{3}+2-\sqrt{3} ;) \cdot(0+2 i)=1+| 2 \sqrt{6} i-2-2 \sqrt{3} \\ &=2-2 \sqrt{3}+1+2 \sqrt{6} i \end{aligned}$$