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z1=2e2/3 πi und z2=\( \sqrt{3} \)i +2

Berechne w= z1/z2 mithilfe der Polardarstellung

w= I w I * e , was ist I w I und φ

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Steht das i bei z2 wirklich unter der Wurzel?

nein, da habe ich mich vertan.. ich habs geändert

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Aloha :)$$z_1=2\,e^{i\,\frac{2}{3}\pi}\quad;\quad z_2=\sqrt3\,i+2$$Da wir \(z_1/z_2\) mit Hilfe der Polardarstellung berechnen sollen, müssen wir \(z_2\) zuvor entsprechend umwandeln. Der Betrag von \(z_2\) ergibt sich aus Real- und Imaginärteil:$$|z_2|=\sqrt{\operatorname{Re}(z)^2+\operatorname{Im}(z)^2}=\sqrt{2^2+(\sqrt3)^2}=\sqrt{4+3}=\sqrt7$$Den Polarwinkel \(\varphi\) erhalten wir mit Hilfe der Tangens-Funktion. Der Tangens einens Winkels ist das Verhältnis von Gegenkathete (Imaginärteil) zu Ankathete (Realteil), sodass:$$\tan\varphi=\frac{\operatorname{Im}(z)}{\operatorname{Re}(z)}=\frac{\sqrt3}{2}\implies\varphi=\arctan\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)$$Damit lautet die Polardarstellung von \(z_2\):$$z_2=\sqrt7\,e^{i\,\arctan(\sqrt3/2)}$$

Bei der Berechnung des Quotienten hilft die Merkregel, dass ein Faktor über den Bruchstrich springt, indem sein Expontent das Vorzeichen wechselt:$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{2\,e^{i\,\frac{2}{3}\pi}}{\sqrt7\,e^{i\,\arctan(\sqrt3/2)}}=\frac{2\,e^{i\,\frac{2}{3}\pi}\cdot e^{-i\,\arctan(\sqrt3/2)}}{\sqrt7}=\frac{2}{\sqrt7}\,e^{i\left(\frac{2}{3}\pi-\arctan\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)\right)}$$$$\phantom{\frac{z_1}{z_2}}\approx\frac{2}{\sqrt7}\,e^{1,38067072\,i}$$

Avatar von 152 k 🚀
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hallo

 1. der Betrag: ^2 = Re^2+im^2 hier also für |z2|^2=3+4 damit |z2|=√7

 φ=arctan(Im/Re)=(√3)/2

dann den Quotienten mit den Potenzgestzen bestimmen.

Gruß lul

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was soll ich tun?^^' könnest du mir bitte für ganz dumme erklären wie ich weiter vorgehen muss und was du da genau getan hast

Hallo

 1.weisst du, was der Realteil und der Imaginärteil einer komplexen Zahl ist?

2. kannst du eine komplexe Zahl in die Gauss- Ebene einzeichnen,

 3. kannst du das mit der Darstellung a+ib und mit der Darstellung r*e?

4. kannst du (5*e^3i)/(2*e^1,5i) ausrechnen?

Beantworte erstmal diese Fragen, damit man deine Kenntnisse einordnen kann.

Gruß lul

1.ja

2.ja

3. joa

4.nein

Hallo

für 4) gelten die normalen Potenzgesetze: (a*b^r)/(c*b^s)=a/c*b(r-s)

wenn du das Zeichnen kannst, weisst du dass φ der Winkel zur positiven x- Achse ist, der Betrag die Länge des Pfeils.

dass also nach Pythagoras der Betrag von a+ib  |a+ib|= √(a^2+b^2) und  für den Winkel gilt b/a=tan(φ)  oder φ=arctan(b/a)

in z=a+ib heisst a Realteil kurz Re und b Imaginärteil  kurz Im

(dabei muss man noch aufpassen, in welchem Quadranten z liegt, denn a/b=(-a)/(-b) also kommt für einen Winkel im 3. Quadranten derselbe wert von arctan raus, wie m ersten Quadranten, so dass man im 3. Quadranten noch pi addieren muss, (entsprechend im 4. Quadranten )

Damit sieh dir noch mal meine Antwort an, und sage, was du daran nicht verstehst.

lul

also φ=0,71372 was ist das in π?

wie berechne ich den betrag von z1?

okay ich habs jetzt verstanden danke

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