Aloha :)$$z_1=2\,e^{i\,\frac{2}{3}\pi}\quad;\quad z_2=\sqrt3\,i+2$$Da wir \(z_1/z_2\) mit Hilfe der Polardarstellung berechnen sollen, müssen wir \(z_2\) zuvor entsprechend umwandeln. Der Betrag von \(z_2\) ergibt sich aus Real- und Imaginärteil:$$|z_2|=\sqrt{\operatorname{Re}(z)^2+\operatorname{Im}(z)^2}=\sqrt{2^2+(\sqrt3)^2}=\sqrt{4+3}=\sqrt7$$Den Polarwinkel \(\varphi\) erhalten wir mit Hilfe der Tangens-Funktion. Der Tangens einens Winkels ist das Verhältnis von Gegenkathete (Imaginärteil) zu Ankathete (Realteil), sodass:$$\tan\varphi=\frac{\operatorname{Im}(z)}{\operatorname{Re}(z)}=\frac{\sqrt3}{2}\implies\varphi=\arctan\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)$$Damit lautet die Polardarstellung von \(z_2\):$$z_2=\sqrt7\,e^{i\,\arctan(\sqrt3/2)}$$
Bei der Berechnung des Quotienten hilft die Merkregel, dass ein Faktor über den Bruchstrich springt, indem sein Expontent das Vorzeichen wechselt:$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{2\,e^{i\,\frac{2}{3}\pi}}{\sqrt7\,e^{i\,\arctan(\sqrt3/2)}}=\frac{2\,e^{i\,\frac{2}{3}\pi}\cdot e^{-i\,\arctan(\sqrt3/2)}}{\sqrt7}=\frac{2}{\sqrt7}\,e^{i\left(\frac{2}{3}\pi-\arctan\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)\right)}$$$$\phantom{\frac{z_1}{z_2}}\approx\frac{2}{\sqrt7}\,e^{1,38067072\,i}$$
