Zeigen, daß die Konstanz von f in G hier folgt

Question

Es sei G ⊂ C ein Gebiet (d.h. eine offene und zusammenhängende Menge)
und f = u + iv eine holomorphe Funktion in G. Zeigen Sie, dass  die Konstanz von f in G  hier folgt:

Es gibt Zahlen a, b ∈ C, die nicht beide gleich 0 sind und für die au(z) + bv(z) in G
konstant ist.

Comments

Hallo

 ist das wirklich der Orginalwortlaut? was ist u und v z.B.

gruß lul

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Vom Duplikat:

Titel: Zeigen Sie, dass aus jeder der beiden folgenden Bedingungen a), b) die Konstanz von f in G folgt

Stichworte: funktion,menge,konstante,komplexe,zahlen,differenzierbarkeit

Es sei G ⊂ ℂ ein Gebiet (d.h. eine offene und zusammenhängende Menge)
und f = u + iv eine holomorphe Funktion in G. Zeigen Sie, dass aus jeder der beiden
folgenden Bedingungen a), b) die Konstanz von f in G folgt:
a) Es gibt Zahlen a, b ∈ C, die nicht beide gleich 0 sind und für die au(z) + bv(z) in G
konstant ist.
b) Es gilt u = h ◦ v mit einer differenzierbaren Funktion h : ℝ →ℝ.

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Siehe:

https://www.mathelounge.de/542214/die-konstanz-von-f-in-g-zeigen

https://www.mathelounge.de/542213/zeigen-dass-die-konstanz-von-f-in-g-hier-folgt

Answer 1

Da \(f\) holomorph ist, gelten für \(u\) und \(v\) die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen.

[1] : \(\partial_x u = \partial_y v\)

[2] : \(\partial_y u = -\partial_x v\)

Wegen \(a\cdot u + b\cdot v = \text{const.}\) erhält man:

[3] : \(a\cdot \partial_x u + b\cdot\partial_x v = 0\)

[4] : \(a\cdot \partial_y u + b\cdot\partial_y v = 0\)

Mit [1] folgt aus [3]:

[5] : \(a\cdot \partial_x u - b\cdot\partial_y u = 0\)

Mit [2] folgt aus [4]:

[6] : \(a\cdot \partial_y u + b\cdot\partial_x u = 0\)

Mit \(a\cdot\text{[5]}+b\cdot\text{[6]}\) erhält man:

[7] : \(\left(a^2+b^2\right)\cdot\partial_x u = 0\)

Mit \(a\cdot\text{[6]}-b\cdot\text{[5]}\) erhält man:

[8] : \(\left(a^2+b^2\right)\cdot\partial_y u = 0\)

Da \(a\) und \(b\) nicht beide gleich \(0\) sind ist \(a^2+b^2\ne0\) und man erhält aus [7] bzw. [8]:

[9] : \(\partial_x u = 0\)

[10] : \(\partial_y u = 0\)

Wegen [10] und [2] erhält man:

[11] : \(\partial_x v = 0\)

Mit [9] und [11] erhält man \(f' = \partial_x u + \text{i}\partial_y u = 0 + \text{i} 0 = 0\). Demnach ist \(f : G\to \mathbb{C}\) lokal konstant. Da außerdem \(G\) als Gebiet insbesondere zusammenhängend ist, folgt schließlich, dass \(f\) konstant ist.