Analysis: Konstanz, Quotient. Verwenden Sie einen Satz aus Vorlesung

Question

Sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) eine differenzierbare Funktion mit \( f^{\prime}(x)=f(x) \) für alle \( x \in \mathbb{R} \).

Zeigen Sie, dass es dann ein \( c \in \mathbb{R} \) gibt, sodass \( f(x)=c \cdot e^{x} \) für alle \( x \in \mathbb{R} \) gilt.

Hinweis: Verwenden Sie einen Satz aus Vorlesung um zu zeigen, dass der Quotient \( f(x) / e^{x} \) konstant sein muss.

Kann mir einer sagen wie ich hier vorgehen muss?

Comments

Es wäre sinnvoll zu wissen, welcher Satz verwendet werden darf.

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Vom Duplikat:

Titel: Analysis differenzierbarkeit Aufgaben

Stichworte: differenzierbarkeit

Hallo.

Wie löst man diese Aufgaben?

2 von 2 Aufgabe 4 Sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) eine differenzierbare Funktion mit \( f^{\prime}(x)=f(x) \) für alle \( x \in \mathbb{R} \). Zeigen Sie, dass es dann ein \( c \in \mathbb{R} \) gibt, sodass \( f(x)=c \cdot e^{x} \) für alle \( x \in \mathbb{R} \) gilt. Hinweis: Verwenden Sie einen Satz aus Vorlesung um zu zeigen, dass der Quotient \( f(x) / e^{x} \) konstant sein muss.

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Hinweis: Verwenden Sie einen Satz aus Vorlesung ...

Und schon mal deine Vorlesungsmitschrift oder das Skript in die Hand genommen?

Answer 1

Definiere die Funktion \(h\) durch \(h(x)=f(x)\cdot\mathrm e^{-x}\). Offenbar ist \(h\) differenzierbar und wegen \(f^\prime(x)=f(x)\) gilt nach der Produktregel$$h^\prime(x)=f^\prime(x)\cdot\mathrm e^{-x}-f(x)\cdot\mathrm e^{-x}=0$$für alle \(x\in\mathbb R\). Nach besagtem Satz ist \(h\) konstant, d.h. es existiert ein \(c\in\mathbb R\) mit \(h(x)=c\). Daraus folgt$$f(x)=h(x)\cdot\mathrm e^x=c\cdot\mathrm e^x,$$und das ist die Behauptung.

Answer 2

f(x)=c·e^x (c∈ℝ) sind die einzigen Funktionen,

für die gilt f(x)=f '(x).

Comments

Soll nicht eben das gezeigt werden?