Zerlegung gleichseitiger Dreiecke

Question

Gesucht sind die Seitenlängen gleichseitiger Dreiecke, die sich in zwei Dreiecke mit ganzzahligen Seitenlängen zerlegen lassen. Wie geht man dies Problem an und wie kann man die Lösung kurz und bündig darstellen?

Comments

Vielleicht hilft

https://de.wikipedia.org/wiki/Heronisches_Dreieck

ein wenig.

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Danke für denTipp und die Tatsache, dass du offensichtlich um eine Lösung bemüht bist. Heronische Dreiecke müssen auch einen ganzzahligen Flächeninhalt haben, was bei den geforderten gleichseitigen Dreiecken sogar ausgeschlossen ist (bei ganzahliger Seitenlänge ist ihre Höhe irrational). Heronische Dreiecke sind immer aus zwei rechtwinkligen Dreiecken zusammegesetzt, deren Seitenlängen pythagoreische Tripel bilden. Die geforderten gleichseitigen Dreiecke lassen sich ausnahmslos nicht in zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegen, aber die Teildreicke müssen einen Winkel der Größe 60° haben.

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Vermutlich ist eher so etwas

mit nicht-ganzzahligen Flächeninhalten gemeint

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Dieses ist noch keine vollständige Lösung sondern nur ein Ansatz.

Nimm ein gleichseitiges Dreieck der Seitenlänge a und teile eine Seite in die Strecken x und a - x. a und x müssen rational sein.

Damit gilt für die Seite die das Dreieck trennt

b = √(a^2 + x^2 - 2·a·x·COS(60°))

b = √(a^2 + x^2 - a·x)

b^2 = a^2 + x^2 - a·x

Nun muss es ein rationales a und x geben, sodass b auch rational ist.

Soweit meine Idee.

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@mathecoach: Deine Idee ist ausgezeichnet.

@hj2166: An dich habe ich gedacht, als ich die Aufgabe stellte. Dein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge 48 ist eines der gesuchten. Es ist aber nur eine Zerlegung gefordert. Die Irrationalität aller Dreiecksflächen (ganzes und Teildreiecke) ist nebensächlich und genau genommen selbstverständlich.