Sorry. Ich weiß nicht, wie du auf dein Zwischenergebnis gekommen bist, daher kann ich dir nicht helfen den Fehler zu finden. Allerdings kann ich dir zeigen, wie man das rechnen kann.
\(f(w) = \frac{\quad\overbrace{-0{,}5\cdot\sin(w)}^{u(w)}\quad}{\quad\underbrace{{(1+\cos(w))}^{0{,}5}}_{v(w)}\quad}\)
Mit Quotientenregel (und Kettenregel) erhält man:
\(\begin{aligned}f'(w) &\stackrel{[0]}{=} \frac{\overbrace{-0{,}5\cdot\cos(w)}^{u'(w)}\cdot\overbrace{{(1+\cos(w))}^{0{,}5}}^{v(w)}}{\underbrace{1+\cos(w)}_{{(v(w))}^2}} \\ & \quad - \frac{\overbrace{(-0{,}5)\cdot\sin(w)}^{u(w)}\cdot \overbrace{0{,}5\cdot{(1+\cos(w))}^{-0{,}5}\cdot(-\sin(w))}^{v'(w)}}{\underbrace{1+\cos(w)}_{{(v(w))}^2}} \\ & = \frac{-0{,}5\cdot\cos(w)\cdot{(1+\cos(w))}^{0{,}5}-0{,}25\cdot{(\sin(w))}^2\cdot{(1+\cos(w))}^{-0{,}5}}{1+\cos(w)} \\ & \stackrel{[1]}{=} \frac{-0{,}5\cdot\cos(w)\cdot(1+\cos(w))-0{,}25\cdot{(\sin(w))}^2}{{(1+\cos(w))}^{1{,}5}}\\ & \stackrel{[2]}{=} \frac{-0{,}5\cdot\cos(w)\cdot(1+\cos(w))-0{,}25\cdot(1-{(\cos(w))}^2)}{{(1+\cos(w))}^{1{,}5}}\\ & = \frac{-0{,}5\cdot\cos(w)-0{,}5\cdot{(\cos(w))}^2-0{,}25+0{,}25\cdot{(\cos(w))}^2}{{(1+\cos(w))}^{1{,}5}}\\ & = \frac{-0{,}25\cdot{(\cos(w))}^2-0{,}5\cdot\cos(w)-0{,}25}{{(1+\cos(w))}^{1{,}5}}\\ & = \frac{-0{,}25\cdot({(\cos(w))}^2+2\cdot\cos(w)+1)}{{(1+\cos(w))}^{1{,}5}}\\ & \stackrel{[3]}{=} \frac{-0{,}25\cdot{(\cos(w)+1)}^2}{{(1+\cos(w))}^{1{,}5}} \\& = \frac{-0{,}25\cdot{(1+\cos(w))}^2}{{(1+\cos(w))}^{1{,}5}} \\& = -0{,}25\cdot{(1+\cos(w))}^{0{,}5}\end{aligned}\)
Beim ersten Schritt \([0]\) habe ich den Bruch auf zwei Brüche verteilt, was nur den Grund hat, dass die Antort sonst nicht ordentlich dargestellt wird, da der Zähler sonst zu lang ist.
Bei \([1]\) wurde mit \({(1+\cos(w))}^{0{,}5}\) erweitert.
Bei \([2]\) wurde \({(\cos(w))}^2+{(\sin(w))}^2 = 1\) bzw. \({(\cos(w))}^2 = 1 - {(\sin(w))}^2\) verwendet.
Bei \([3]\) wurde die erste binomische Formel verwendet.
Bemerkung: Die Rechnung gilt nur für \(w\notin\left\lbrace(1+2k)\pi\middle|k\in\mathbb{Z}\right\rbrace\). Denn an den Stellen \(w\in\left\lbrace(1+2k)\pi\middle|k\in\mathbb{Z}\right\rbrace\) ist \(f(w)\) nicht definiert, und damit \(f\) an den entsprechenden Stellen nicht differenzierbar.
