Ich habe folgende Aufgaben, die ich nicht lösen kann. (fettgedruckt sind die, die ich nicht kann)
Gegeben ist die gebrochen rationale Funktion f mit f(x) = 2x/(x^2 − 2)
Der Graph von f wird mit G bezeichnet.
(a) Diskutieren Sie die Funktion f bzgl. Definitionsbereich, Nullstellen, Extrema, Wendepunkte, Ver- halten im Unendlichen (mit kurzer Begründung), Verhalten an den Polstellen, Symmetrie, Wer- temenge und zeichnen Sie den Graphen G.
Für den Graphen gilt: 1 Einheit entspricht 2 Häuschen. [7P]
(b) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente t im Wendepunkt des Graphen G. [0.5P]
(c) Wie lauten die Koordinaten aller weiteren Punkte des Graphen G in denen die Tangenten parallel zur Wendetangente t verlaufen? [2P]
√√
(d) Der Graph G, die x-Achse und die beiden Geraden x = 3 und x = a mit 3 < a begrenzen im 1. Quadranten eine Fläche vom Inhalt A = 3. Bestimmen Sie den Wert des Platzhalters a. [2.5P]
Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x · e^{2−x}. Der Graph von f wird mit G bezeichnet.
(a) Diskutieren Sie die Funktion f bzgl. Definitionsbereich, Nullstellen, Extrema, Wendepunkte, Ver- halten im Unendlichen und zeichnen Sie den Graphen G.
(b) Der Ursprung O, der Punkt P (xP /0), mit xP > 0, und der Punkt Q (xP /f (xP )) bilden ein recht- winkliges Dreieck. Berechnen Sie den maximalen Flacheninhalt, den dieses Dreieck einnehmen
kann. [4P]
(c) Zeigen Sie, dass die Funktion F(x) = −(x+1)·e^{2−x} eine Stammfunktion von f(x) ist. Der Graph von f im 1. Quadranten und die vertikale Gerade x = b, (x > 0) schliessen eine Flache vom Inhalt A(b) ein. Berechnen Sie den Flächeninhalt in Abhangigkeit von b und untersuchen Sie den
Grenzwert für b → ∞.
[2P]
