Taschenrechner sinnvoll einsetzen

Question

Rechne mit klugem Einsatz des Taschenrechners: 9·2911⁴- 5042⁴+2·5042².

Comments

Ich sehe nichts, was man sinnvoll zusammenfassen könnte bei diesen Zahlen.

5042^2 ausklammern bringt m.E. nichts. Komische Zahlen sind das!

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Nicht einfach so eingeben, wie es dasteht.Dann werden nämlich die TR-Zahlen verlassen.

Das sehe ich nicht so! Das Ergebnis ist ca. \(-4,3 \cdot 10^{14}\) und das größte Zwischenergebnis bei 'einfacher Eingabe' ist \(5042^{4} \approx 6,5 \cdot 10^{14}\). Das ist exakt die gleiche Größenordnung. Was willst Du da 'sinnvoller' eingeben?

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Hallo Werner, welches TR-Ergebnis hast du denn heraus?

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Ich habe \(3 \cdot 2911^4-5042^4+2 \cdot 5042^2 = -430.844.022.685.445\)

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Meine Aufgabe enthielt einen Fehler, den ich jetzt korrigiert habe. Tut mr sehr leid. Daduch habe ich eigentlich alles zerstört.

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Oh - dann ist das Ergebnis \(= -e^{i\pi}\). ;-)

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Das hast du doch nicht mit deinem TR herausgefunden! Was sagt dein TR?

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Ein Ansatz wäre:

9·2911^4- 5042^4+2·5042^2 =9·2911^4-(5042^2-1)^2 +1 =(3·2911^2)^2-(5042^2-1)^2 +1

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Vom Duplikat:

Titel: Taschenrechnerergebnis hinterfragen

Stichworte: taschenrechner

Berechne 9·2911⁴- 5042⁴ + 2·5042².

Taschenrechnereinsatz ist erlaubt. Aber ein zweiter Rechenweg zur Prüfung des Ergebnisses ist erforderlich.

Answer 1

Hallo Roland,

meine Taschenrechner haben mindestens 20 Stellen, so dass ich auch ohne Umstellen das exakte Ergebnis berechnen kann. Sollte man einen weniger genauen TR haben, so könnte ich mir folgendes vorstellen:

$$\begin{aligned} & 9\cdot 2911^4-5042^4+2·5042^2 \\ = \,& \underbrace{(3 \cdot 2911^2 - 5042^2)}_{=-1}(3 \cdot 2911^2 + 5042^2) + 2·5042^2 \\ =\,& 5042^2 - 3 \cdot 2911^2 = 1  \end{aligned}$$ Den TR benötigt man nur, um den Term \((3 \cdot 2911^2 - 5042^2)\) zu berechnen. Der Rest geht dann ohne, da der gleiche Term (nur eben negativ) noch einmal vorkommt.

Ein schönes Beispiel dieser Art stammt von Homer Simpson. Es widerlegt den Beweis des Großen Fermatschen Satzes von Andrew Wiles. Der Term lautet:

$$3987^{12} + 4365^{12} = 4472^{12}$$ Ein TR, der nur 10 Stellen oder weniger rechnet bzw. anzeigt, bestätigt die Gleichheit!

Gruß Werner

Answer 2

    9·2911⁴ - 5042⁴ + 2·5042²
= (3·2911² + 5042²)·(3·2911² - 5042²) + 2·5042²
= (3·2911² + 5042²)·(-1) + 2·5042²
= 5042² - 3·2911² = 1.

Comments

Hätte das dein TR auch ohne die Umformung genannt?

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Mein GTR (TI Nspire CX NUM) bekommt dies:

Mit Ganzzahlarithmetik (erste Zeile) liefert er also 1,
bei Gleitkommaarithmetik (zweite Zeile) dagegen -2.
Die dritten Zeile macht deutlich, worin die kritische
Operation besteht: 5042^4 = 646 266 084 871 696
erzeugt eine Zahl mit 15-stelliger Mantisse.

PS: Ich ergänze noch:

9*2911^4 = 646 266 034 028 169
   5042^4 = 646 266 084 871 696
2*5042^2 =                 50 843 528

Die Auslöschung wurde also provoziert.

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Mein TR berechnet wg. Rundungsfehlern -472. Aber Wolfram|Alpha rechnet diese Aufgabe exakt.