Zeigen Sie, dass jedes von 0 verschiedenen Element von C3 ein multiplikatives Inverses besitzt

Question

Sei n ∈ ℕ. Ähnlich zu den Verknüpfungen der komplexen Zahlen definieren wir auf der Menge

C_n := ℤ_n + iℤ_n = { a + ib | a, b ∈ ℤ_n } die Verknüpfungen + und · durch

(a + bi) + (c + id) = Rest_n(a + c) + iRest_n(b + d)

(a + ib) · (c + id) = Rest_n(ac - bd) + iRest_n(ad + bc)

a) Zeigen Sie, dass jedes von 0 verschiedenen Element von C₃ ein multiplikatives Inverses besitzt.

b) Zeigen Sie, dass C₂ mit diesen Verknüpfungen ein Körper ist

Bemerkung: C₃ ist mit diesen Verknüpfungen ein Körper

Answer 1

So sehr viele Elemente hat C₃ ja nicht:

1. Fall:  b=0 , dann ist a≠0, also bleiben 1+0*i = 1

und 2 +0*i  = 2  und die haben die Inversen  1+0*i  bzw  2+0*i.

2. Fall b=1 (Dann hast du

       0+i          1+i    und 2+i

Die haben Inverse

          -i          2+i     und  1+i

3. Fall  b=2

          0+2i       1+2i      2+2i    die auch:

              -2i      2+2i       2+i