Transport theorem mit Ableitung innerhalb und außerhalb integral

Question

Ich habe zwei leicht verschiedene Formen des Raynoldsschen Transport theorems gefunden mit DZ/Dt =∂/∂t ∫ρ*z*dV + ∫ρ*z*c*n*dA mit c Geschwindigkeitsvektor und n Normalenvektor und die Form DZ/Dt = ∫∂/∂t ρ*z*dV + ∫ρ*z*c*n*dA

Darf ich die Ableitung und das Integral einfach vertauschen und warum?

Answer 1

Deine Formeln sind ziemlich liederlich geschrieben. Wenn \(V\) nicht von der Zeit abhaengt, gilt (Satz ueber die Differentiation von Parameterintegralen)$$\frac{d}{dt}\int_Vf(\pmb{x},t)\,d\pmb{x}=\int_V\frac{\partial}{\partial t}f(\pmb{x},t)\,d\pmb{x}.$$ Anschaulich sollte das klar sein, wenn man z.B. \(f\) als Massendichte interpretiert.