Lineare Unabhängigkeit beweisen bei Polynomen

Question

Aufgabe 36.
Seien a in R und n in N. Beweisen Sie, dass die Polynome
(1,(x - a),(x - a)^2,...,(x - a)^n in  R[x]
linear unabhängig sind.

Meine Ideen:
Die Polynome müssen Null ergeben, daraus schließt man dass a und x Null ergeben müssen- Aber wie gehe ich nun weiter vor.

Answer 1

Meine Ideen:
Die Polynome müssen Null ergeben,

Nein, eine Linearkombination der Poly.

b₀*1+b₁*(x - a)+b₂*(x - a)^2 +.....+b_n*(x - a)^n   = 0   #

wenn man sich die Klammern aufgelöst vorstellt, gibt nur

der letzte Summand was mit x^n also ergibt das

          q  +   b_n*x^n = 0   und q ist ein Polynom vom Grad kleiner n,

also muss b_n = 0 gelten.

Dann wird # zu

b0*1+b1*(x - a)+b2*(x - a)^2 +.....+b_n-1*(x - a)^n-1   = 0

und jetzt kann man für b_n-1 entsprechend argumentieren.

Auf diese Weise sind alle b_I = 0 also die Polynome lin.unabh.