0 Daumen
161 Aufrufe

Aufgabe:

Sei  \( (v_i)_i\in_ I \) eine Familie in einem K-Vektorraum. Zeigen Sie: \( (v_i)_i\in_ I \) ist genau dann linear unabhängig, wenn \( [v_i|i\in I] \) linear unabhängig ist und die Abbildung \( i\rightarrow v_i \) injektiv ist.


Problem:

Ich habe ehrlich gesagt nicht wirklich einen Ansatz für dieses Beispiel. Mein Hauptproblem ist, dass ich den Unterschied zwischen der Familie \( (v_i)_i\in_ I \) und der Menge \( [v_i|i\in I] \) nicht wirklich verstehe. Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand dieses Beispiel erklären könnte und mir seinen/ihren Ansatz mitteilt.

Ich freue mich über jede Antwort :)

Avatar von

1 Antwort

0 Daumen

Hauptproblem ist, dass ich den Unterschied zwischen der Familie \( (v_i)_i\in_ I \) und der Menge \( [v_i|i\in I] \) nicht wirklich verstehe.

In einer Menge ist von jedem ihrer Elemente nur bekannt,

dass es zur Menge gehört.

Bei einer Familie ist es durch den Index so, dass ein

Wert mit verschiedenen Indizes  vorkommen kann.

Das würde z.B. bei der Frage nach der lin. Unabhängigkeit

dazu führen, dass die Familie lin. abh. ist.

Avatar von 289 k 🚀

Danke für die Aufklärung.

Ich glaube, dass ich jetzt ein brauchbares Ergebnis für "\( \Longrightarrow \)" Richtung habe.

"\( \Longrightarrow \)"

(I) \( (v_i)_i\in _I l.u.a. \Longrightarrow \left\{v_i|i\in I\right\} l.u.a \)

Ich definiere \( \left\{v_i|i\in I\right\} \):=M

Sei \( v_j\in B \) und M l.a. \( \Longrightarrow v_j\in \left[B/ \left\{v_j\right\}\right] \) wobei "/" hier "ohne" bedeuten soll.

\( \Longrightarrow ∃λ_i:v_j=\sum \limits_{v_i\in B/\left\{v_j\right\}}^{}λ_iv_i \) wobei \( v_i\in B/\left\{v_j\right\} \)

Da \( ∀v_i\in B \):\( i\rightarrow v_i \) gilt muss \( v_j\in [(v_i)_{i\in I/\left\{j\right\}} \)] sein

Was im Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der Familie spricht, woraus folgt, dass M linear unabhängig sein muss.

(II) Angenommen \( i\rightarrow v_i \) ist nicht Injektiv.

\( ∃v_j,v_k\in V:j\rightarrow v_j=v_k\leftarrow i \) wobei \( k≠j \)

\( \Longrightarrow v_k=v_j=\sum \limits_{i\in I/\left\{k\right\}}^{}λ_iv_i \)

\( \Longrightarrow v_k\in [(v_j)_{j\in I/\left\{k\right\}}] \) was im Widerspruch zur linear unabhängigkeit der Familie spricht, weshalb \( i\rightarrow v_i \) injektiv sein muss.

Ich hoffe, dass das halbwegs Sinn ergibt. Falls ich irgendetwas falsch notiert habe, bitte korrigieren.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community